Арифметическая комбинаторика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Арифметическая комбинаторика — раздел математики, возникший на стыке теории чисел, комбинаторики, эргодической теории и гармонического анализа.

Пусть \mathbb N — множество натуральных чисел, \mathbb E — чётных, \mathbb P — простых, а \mathbb S — множество всех квадратов натуральных чисел.

Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенство \mathbb S + \mathbb S + \mathbb S + \mathbb S = \mathbb N, а не менее знаменитую гипотезу Гольдбаха — как \mathbb P +  \mathbb P \supseteq \mathbb E. Изучением поведения подмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур) относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве с традиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика.

Аддитивная комбинаторика относится к специальному случаю арифметической комбинаторики, когда во внимание берутся только операции сложения и вычитания.

Изучаемые множества могут быть подмножествами алгебраических структур, отличных от целых чисел, например, групп, колец или полей.[1]

Арифметическая комбинаторика объясняется в рецензии Грина на книгу «Аддитивная комбинаторика» Тао и Ву.

Пример задачи[править | править вики-текст]

Пусть A — множество, содержащее n целых чисел, каков будет размер множества сумм

A+A := \{x+y: x,y \in A\},

множества разностей (не путать с разностью множеств)

A-A := \{x-y: x,y \in A\},

или множества произведений (не путать с произведением множеств)

A\times A := \{xy: x,y \in A\}

Как связаны размеры этих множеств?

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. A sum-product estimate in finite fields, and applications, Jean Bourgain, Nets Katz and Terence Tao, (2004), Geometric And Functional Analysis Volume 14, Number 1, 27-57, arxiv version

Ссылки[править | править вики-текст]