Моноид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что ex=x=xe для любого x\in M. Элемент e называется единицей и часто обозначается 1. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Моноиды возникают в различных областях математики; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций. Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Всякая группа является моноидом.
  • Множество всех отображений произвольного множества S в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
  • Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры A является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
  • Любую полугруппу S можно превратить в моноид, просто присоединив элемент e и определив e*s = s = s*e для всех s ∈ S.
  • Натуральные числа образуют коммутативный моноид (моноид с коммутативной операцией) как по умножению, так и по сложению (если считать ноль натуральным числом).
  • Множество всех конечных строк с элементами из алфавита Σ образует моноид, обычно обозначаемый Σ. Операция определяется как конкатенация строк.
  • Зафиксируем моноид M. Тогда множество всех функций из фиксированного множества в M образует моноид; единица которого — функция, отображающая всё множество в единицу M, операция определяется поточечно.

Свойства[править | править вики-текст]

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.[источник не указан 350 дней]

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как a^0=e, \forall a Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени a^{m+n}=a^m a^n, (a^m)^n=a^{mn} остаются справедливыми для \mathbb N\cup\{0\}.

Можно ввести определение обратимого элемента моноида: x является обратимым, если существует такой элемент y, что xy = yx = e. Если y и z — два элемента с таким свойством, то по ассоциативности y = (zx)y = z(xy) = z, следовательно, обратный элемент определён однозначно[1] (обычно его обозначают x−1). Множество всех обратимых элементов моноида образует группу (возможно, тривиальную).

С другой стороны, не каждый моноид можно вложить в группу. Например, вполне возможно что в моноиде существуют элементы a и b, такие что ab = a и при этом b не является нейтральным элементом. Если бы этот моноид являлся подмножеством некоторой группы, мы могли бы домножить обе части равенства на a−1 слева и получили бы противоречие. Говорят, что моноид M обладает свойством сокращения, если, для любых его элементов, ab=ac\Rightarrow b=c и ba=ca\Rightarrow b=c. Коммутативный моноид со свойством сокращения можно вложить в группу, используя конструкцию группы Гротендика. Это обобщает способ, по которому аддитивную группу целых чисел можно восстановить по аддитивной группе натуральных чисел.

Конечный моноид со свойством сокращения всегда является группой. Действительно, пусть x — произвольный элемент такого моноида. Из принципа Дирихле следует, что xn = xm для некоторых m > n > 0. Но тогда из свойства сокращения следует, что xmn = e, где e — единица. Следовательно, x * xmn−1 = xmn−1 * x = e, так что x обратим.

Гомоморфизм из моноида M в моноид N — это функция f:M\to N, такая что f(xy)=f(x)\cdot f(y) (для любых x и y из M) и f(e)=e.

Связь с теорией категорий[править | править вики-текст]

Аксиомы моноида совпадают с теми аксиомами, которые накладываются на композицию морфизмов в категории. Отличие состоит в том, что в моноиде определено произведение любых двух элементов, тогда как композиция определена не для любых двух морфизмов. Сказать, что для любых двух морфизмов определена композиция — это то же самое, что сказать «категория состоит из одного объекта», то есть моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта.

Аналогично, гомоморфизмы моноидов — это в точности функторы между соответствующими категориями.[2] Эта конструкция задаёт эквивалентность между категорией (малых) моноидов Mon и полной подкатегорией в Cat.

Существует также категорное понятие моноида, обобщающее свойства моноида на произвольную моноидальную категорию. Например, моноид в категории множеств — это обычный моноид, определённый выше, тогда как моноид в категории абелевых групп — ассоциативное кольцо с единицей.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jacobson, I.5. p. 22
  2. Awodey, Steve (2006). Category Theory. Oxford Logic Guides 49. Oxford University Press. p. 10. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001.

Ссылки[править | править вики-текст]