Флаг (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства \,L (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_k = L,

где

0 = \dim L_0 < \dim L_1 < \dim L_2 < \cdots < \dim L_k = \dim L.

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором \dim L_i = i, и следовательно, число k= \dim L. Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полный флаг[править | править исходный текст]

Полным флагом в векторном пространстве \,L конечной размерности \,n называется последовательность подпространств

L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_n, \quad \dim L_i = i,

где подпространство \,L_0 состоит лишь из нулевого вектора, подпространство \,L_n совпадает со всем \,L \,(L_n=L), и каждая пара соседних подпространств \,(L_i,L_{i-1}) является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство \,L_{i-1} разбивает \,L_{i}, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

Базисы \,e_1, e_2 и \,e_1, e'_2 задают один и тот же флаг на плоскости

Каждый базис e_1, \ldots, e_n векторного пространства \,L определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим L_i = \langle e_1, \ldots , e_i\rangle (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары \,(L_i,L_{i-1}) выберем то полупространство, которое содержит вектор \,e_i.

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы \,e_1, e_2 и \,e_1, e'_2 на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство \,L является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства \,L существует единственное ортогональное преобразование \,A: L \to L, переводящее первый флаг во второй.

Флаги в аффинных пространствах и геометрии Лобачевского[править | править исходный текст]

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности \,n:

L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \dots \subset L_n, \quad \dim L_i = i,

где подпространство \,L_0 состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство \,L_n совпадает со всем \,L \,(L_n=L), и каждая пара \,(L_i,L_{i-1}) является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.[1]

Литература[править | править исходный текст]

  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. XII, § 1. — М.: Физматлит, 2009.