L-функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

L-функция Дирихле L_{\chi}(s) — комплексная функция, заданная при \operatorname{Re}\,s>0 (при \operatorname{Re}\,s>1 в случае главного характера) формулой

L_{\chi}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s},

где \chi(n) — некоторый числовой характер (по модулю k). L-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства L_\chi(1)\neq 0 для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле[править | править вики-текст]

В силу мультипликативности числового характера \chi L-функция Дирихле представима в области \operatorname{Re}\,s>1 в виде эйлерова произведения по простым числам:

L_{\chi}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}.

Эта формула обусловливает многочисленные применения L-функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией[править | править вики-текст]

L-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана \zeta(s) формулой

L_{\chi_0}(s)=\zeta(s)\prod_{p|k}\left(1-\frac{1}{p^s}\right).

Эта формула позволяет доопределить L_{\chi_0}(s) для области Re(s)>0 c простым полюсом в точке s=1.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.