q-символ Похгаммера

Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$,

при этом

$(a;q)_{0}=1$

по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории базисных гипергеометрических рядов q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории обобщённых гипергеометрических рядов.

В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай

$\varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

известен как функция Эйлера и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.

Тождества

Конечное произведение можно выразить через бесконечное:

$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$

что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем

$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$

и

$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$

Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов

$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$

и

${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}$,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:

${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$

Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова для доказательства):

${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$

Комбинаторная интерпретация

Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при $q^{m}a^{n}$ в

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$

равен числу разбиений m на не более чем n частей.

Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$,

как в разделе выше.

Коэффициент при $q^{m}a^{n}$ в

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$

равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.

Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$

также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, $p(n)$, которая также разлагается в следующие два q-ряда:

${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$

Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

Q-ряды

Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с $(a;q)_{n}$. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843).

Связь с другими q-функциями

Принимая во внимание, что

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,$

мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал

${\big [}n]_{q}!$	$=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}$
	$=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}$
	$={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$

Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над полем с одним элементом.

Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:

$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^{n(n+1)/2}}}$

От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}},$

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ для всех $0\leqslant m\leqslant n$.

Можно показать, что

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$

Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты $q$-биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов:

${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$

Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией и определённый как

$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$

Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что

$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$

для любого x и

$\Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.$

для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.

См. также

• Базисные гипергеометрические ряды
• Эллиптическая гамма-функция
• Тета-функция Якоби
• Символ Похгаммера
• q-производная
• q-тэта-функция
• Теорема о пятиугольных числах
• Тождества Роджерса — Рамануджана
• Непрерывная дробь Роджерса — Рамануджана
• q-тождество Вандермонда

Ссылки

• Weisstein, Eric W. q-Analog (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Bracket (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Factorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-Binomial Coefficient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.