RSA

RSA (буквенная аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел.

Криптосистема RSA стала первой системой, пригодной и для шифрования, и для цифровой подписи. Алгоритм используется в большом числе криптографических приложений, включая PGP, S/MIME, TLS/SSL, IPSEC/IKE и других.

История

Опубликованная в ноябре 1976 года статья Уитфилда Диффи и Мартина Хеллмана «Новые направления в криптографии» (англ. «New Directions in Cryptography») перевернула представление о криптографических системах, заложив основы криптографии с открытым ключом. Разработанный впоследствии алгоритм Диффи — Хеллмана позволял двум сторонам получить общий секретный ключ, используя незащищенный канал связи. Однако этот алгоритм не решал проблему аутентификации. Без дополнительных средств пользователи не могли быть уверены, с кем именно они сгенерировали общий секретный ключ.

Изучив эту статью, трое учёных Рональд Ривест (англ. Ronald Linn Rivest), Ади Шамир (англ. Adi Shamir) и Леонард Адлеман (англ. Leonard Adleman) из Массачусетского Технологического Института (MIT) приступили к поискам математической функции, которая бы позволяла реализовать сформулированную Уитфилдом Диффи и Мартином Хеллманом модель криптографической системы с открытым ключом. После работы над более чем 40 возможными вариантами, им удалось найти алгоритм, основанный на различии в том, насколько легко находить большие простые числа и насколько сложно раскладывать на множители произведение двух больших простых чисел, получивший впоследствии название RSA. Система была названа по первым буквам фамилий её создателей.

В августе 1977 года в колонке «Математические игры» Мартина Гарднера в журнале Scientific American, с разрешения Рональда Ривеста появилось первое описание криптосистемы RSA. Читателям также было предложено расшифровать английскую фразу, зашифрованную описанным алгоритмом:

9686 1477 8829 7431 0816 3569 8962 1829

9613 1409 0575 9874 2982 3147 8013 9451

7546 2225 9991 6951 2514 6622 3919 5781

2206 4355 1245 2093 5708 8839 9055 5154

В качестве открытых параметров системы были использованы числа n=1143816...6879543 (129 десятичных знаков, 425 бит, также известно как RSA-129) и e=9007. За расшифровку была обещана награда в 100 долларов США. По заявлению Ривеста, для факторизации числа потребовалось бы более 40 квадриллионов лет. Однако чуть более чем через 15 лет, 3 сентября 1993 года было объявлено о старте проекта распределённых вычислений с координацией через электронную почту по нахождению сомножителей числа RSA-129 и решению головоломки. На протяжении полугода более 600 добровольцев из 20 стран жертвовали процессорное время 1600 машин (две из которых были факс-машинами). В результате были найдены простые множители и расшифровано исходное сообщение, которое представляет собой фразу «THE MAGIC WORDS ARE SQUEAMISH OSSIFRAGE» («Волшебные слова — это брезгливый ягнятник»). Полученную награду победители пожертвовали в фонд свободного программного обеспечения.

После публикации Мартина Гарднера полное описание новой криптосистемы любой желающий мог получить, выслав по почте запрос Рональду Ривесту, с приложенным конвертом с обратным адресом и марками на 35 центов. Полное описание новой криптосистемы было опубликовано в журнале «Communications of the ACM» в феврале 1978 года.

Заявка на патент была подана 14 декабря 1977 года, в качестве владельца был указан MIT. Патент 4405829 был выдан 20 сентября 1983 года, а 21 сентября 2000 года срок его действия истёк.. Однако за пределами США у изобретателей патента на алгоритм не было, так как в большинстве стран его необходимо было получить до первой публикации.

В 1982 году Ривест, Шамир и Адлеман организовали компанию RSA Data Security (в настоящий момент — подразделение EMC Corporation). В 1989 году RSA, вместе с симметричным шифром DES, упоминается в RFC 1115, тем самым начиная использование алгоритма в зарождающейся сети Internet, а в 1990 году использовать алгоритм начинает министерство обороны США.

В ноябре 1993 года открыто публикуется версия 1.5 стандарта PKCS#1, описывающего применение RSA для шифрования и создания электронной подписи. Последние версии стандарта также доступны в виде RFC (RFC 2313 — 1.5, 1993 год; RFC 2437 — 2.0, 1998 год; RFC 3447 — 2.1, 2002 год).

В декабре 1997 года была обнародована информация, согласно которой британский математик Клиффорд Кокс (Clifford Cocks), работавший в центре правительственной связи (GCHQ) Великобритании, описал криптосистему аналогичную RSA в 1973 году.

Описание алгоритма

Введение

Криптографические системы с открытым ключом используют так называемые односторонние функции, которые обладают следующим свойством:

• Если известно $x$, то $f(x)$ вычислить относительно просто
• Если известно $y=f(x)$, то для вычисления $x$ нет простого (эффективного) пути.

Под односторонностью понимается не теоретическая однонаправленность, а практическая невозможность вычислить обратное значение, используя современные вычислительные средства, за обозримый интервал времени.

В основу криптографической системы с открытым ключом RSA положена сложность задачи факторизации произведения двух больших простых чисел. Для шифрования используется операция возведения в степень по модулю большого числа. Для дешифрования за разумное время (обратной операции) необходимо уметь вычислять функцию Эйлера от данного большого числа, для чего необходимо знать разложения числа на простые множители.

В криптографической системе с открытым ключом каждый участник располагает как открытым ключом (англ. public key), так и закрытым ключом (англ. private key). В криптографической системе RSA каждый ключ состоит из пары целых чисел. Каждый участник создаёт свой открытый и закрытый ключ самостоятельно. Закрытый ключ каждый из них держит в секрете, а открытые ключи можно сообщать кому угодно или даже публиковать их. Открытый и закрытый ключи каждого участника обмена сообщениями в криптосистеме RSA образуют «согласованную пару» в том смысле, что они являются взаимно обратными, т.е.:

$\forall$ сообщения $m \in M$, где $M$ — множество допустимых сообщений.

$\forall$ допустимых открытого и закрытого ключей $P$ и $S$

$\exist\,$ соответствующие функции шифрования $E_p(x)$ и расшифрования $D_s(x)$, такие что

$m=D_s(E_p(m))$

$m=D_p(E_s(m))$

Алгоритм создания открытого и секретного ключей

RSA-ключи генерируются следующим образом:

1. Выбираются два различных случайных простых числа $p$ и $q$ заданного размера (например, 1024 бита каждое).
2. Вычисляется их произведение $n=pq$, которое называется модулем.
3. Вычисляется значение функции Эйлера от числа $n$:

   $\varphi(n) = (p-1)(q-1).$

4. Выбирается целое число $e$ ($1 < e < \varphi(n)$), взаимно простое со значением функции $\varphi(n)$. Обычно в качестве $e$ берут простые числа, содержащие небольшое количество единичных бит в двоичной записи, например, простые числа Ферма 17, 257 или 65537.
   • Число $e$ называется открытой экспонентой (англ. public exponent)
   • Время, необходимое для шифрования с использованием быстрого возведения в степень, пропорционально числу единичных бит в $e$.
   • Слишком малые значения $e$, например 3, потенциально могут ослабить безопасность схемы RSA.
5. Вычисляется число $d$, мультипликативно обратное к числу $e$ по модулю $\varphi(n)$, то есть число, удовлетворяющее условию:

   $d e \equiv 1 \mod {\varphi(n)}$.

   • Число $d$ называется секретной экспонентой. Обычно, оно вычисляется при помощи расширенного алгоритма Евклида.
6. Пара $\left\{ e, n \right\}$ публикуется в качестве открытого ключа RSA (англ. RSA public key).
7. Пара $\left\{ d, n \right\}$ играет роль закрытого ключа RSA (англ. RSA private key) и держится в секрете.

Шифрование и расшифрование

Предположим, Боб хочет послать Алисе сообщение $m$.

Сообщениями являются целые числа в интервале от $0$ до $n - 1$, т.е $m \in \mathbb{Z}_{n}\,$.

Алгоритм: Взять открытый ключ $(e,n)$ Алисы Взять открытый текст $m$ Зашифровать сообщение с использованием открытого ключа Алисы: $c = E(m) = m^e \mod n ~~~~ (1)$

Алгоритм: Принять зашифрованное сообщение $C \,$ Взять свой закрытый ключ $(d,n)$ Применить закрытый ключ для расшифрования сообщения: $m = D(c) = c^d \mod n ~~~~(2)$

Корректность схемы RSA

Уравнения $(1)$ и $(2)$, на которых основана схема RSA, определяют взаимно обратные преобразования множества $\mathbb{Z}_n$

Доказательство  

Действительно, для $\forall m \isin \mathbb{Z}_{n}\,$

$D\left( {E\left( m \right)} \right) = E\left( {D\left( m \right)} \right) = m^{ed} \mod n$

Покажем, что:

$\forall m \in \mathbb{Z}_{n}: m^{ed} \equiv m \mod p$.

Возможны два случая:

• $m \not\equiv 0 \mod p$.

Поскольку числа $e$ и $d$ являются взаимно обратными относительно умножения по модулю $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$, т.e

$ed=1+k(p-1)(q-1)$ для некоторого целого $k$,

тогда:

$\begin{align} m^{ed} & \equiv m^{1 + k\left( {p - 1} \right)\left( {q - 1} \right)} & \equiv & \mod p \\ & \equiv m\left( {m^{p - 1} } \right)^{k\left( {q - 1} \right)} & \equiv & \mod p \\ & \equiv m\left( 1 \right)^{k\left( {q - 1} \right)} & \equiv m & \mod p \end{align}$

где второе тождество следует из теоремы Ферма.

• Рассмотрим второй случай:

$m \equiv 0 \mod p$,

тогда

$m^{ed} \equiv 0 \equiv m \mod p$

Таким образом, при всех $m$ выполняется равенство

$m^{ed} \equiv m \mod p$

Аналогично можно показать, что:

$\forall m \in \mathbb{Z}_{n}: m^{ed} \equiv m \mod q$.

Тогда, из китайской теоремы об остатках

$\forall m \in \mathbb{Z}_{n}: m^{ed} \equiv m \mod n$

Пример

Этап	Описание операции	Результат операции
Генерация ключей	Выбрать два простых числа	$p=3557$, $q=2579$
	Вычислить модуль	$n = p \cdot q = 3557 \cdot 2579 = 9173503$
	Вычислить функцию Эйлера	$\varphi(n) = (p-1) (q-1) = 9167368$
	Выбрать открытую экспоненту	$e = 3$
	Вычислить секретную экспоненту	$d = e^{-1} \mod \varphi(n)$ $d = 6111579$
	Опубликовать открытый ключ	$\{e, n\} = \{3,9173503 \}$
	Сохранить закрытый ключ	$\{d, n\} = \{6111579, 9173503 \}$
Шифрование	Выбрать текст для зашифровки	$m = 111111$
	Вычислить шифротекст	$\begin{align} c &= E(m) \\ &= m^e \mod n \\ &= 111111^3 \mod 9173503 \\ &= 4051753 \end{align}$
Расшифрование	Вычислить исходное сообщение	$\begin{align} m &= D(c) = \\ &= c^d \mod n \\ &= 4051753^{6111579} \mod 9173503 \\ &= 111111 \end{align}$

Цифровая подпись

Система RSA может использоваться не только для шифрования, но и для цифровой подписи.

Предположим, что Алисе (стороне $A$) нужно отправить Бобу (стороне $B$) сообщение $m$, подтверждённое электронной цифровой подписью.

Алгоритм: Взять открытый текст $m$ Создать цифровую подпись $s$ с помощью своего секретного ключа $\left\{ d, n \right\}$: $s = S_A \left( m \right) = m^d \mod n$ Передать пару $\left\{ m, s \right\}$, состоящую из сообщения и подписи.

Алгоритм: Принять пару $\left\{ m, s \right\}$ Взять открытый ключ $\left\{ e, n \right\}$ Алисы Вычислить прообраз сообщения из подписи: $m' = P_A \left( s \right) = s^e \mod n$ Проверить подлинность подписи (и неизменность сообщения), сравнив $m$ и $m'$

Поскольку цифровая подпись обеспечивает как аутентификацию автора сообщения, так и подтверждение целостности содержимого подписанного сообщения, она служит аналогом подписи, сделанной от руки в конце рукописного документа.

Важное свойство цифровой подписи заключается в том, что её может проверить каждый, кто имеет доступ к открытому ключу её автора. Один из участников обмена сообщениями после проверки подлинности цифровой подписи может передать подписанное сообщение ещё кому-то, кто тоже в состоянии проверить эту подпись. Например, сторона $A\,$ может переслать стороне $B\,$ электронный чек. После того как сторона $B\,$ проверит подпись стороны $A\,$ на чеке, она может передать его в свой банк, служащие которого также имеют возможность проверить подпись и осуществить соответствующую денежную операцию.

Заметим, что подписанное сообщение $m$ не зашифровано. Оно пересылается в исходном виде и его содержимое не защищено от нарушения конфиденциальности. Путём совместного применения представленных выше схем шифрования и цифровой подписи в системе RSA можно создавать сообщения, которые будут и зашифрованы, и содержать цифровую подпись. Для этого автор сначала должен добавить к сообщению свою цифровую подпись, а затем — зашифровать получившуюся в результате пару (состоящую из самого сообщения и подписи к нему) с помощью открытого ключа принадлежащего получателю. Получатель расшифровывает полученное сообщение с помощью своего секретного ключа. Если проводить аналогию с пересылкой обычных бумажных документов, то этот процесс похож на то, как если бы автор документа поставил под ним свою печать, а затем положил его в бумажный конверт и запечатал, с тем чтобы конверт был распечатан только тем человеком, кому адресовано сообщение.

Скорость работы алгоритма RSA

Поскольку генерация ключей происходит значительно реже операций, реализующих шифрование, расшифрование, а также создание и проверку цифровой подписи, задача вычисления $a=b^c \mod n$ представляет основную вычислительную сложность. Эта задача может быть разрешена с помощью алгоритма быстрого возведения в степень. С использованием этого алгоритма для вычисления $m^e \mod n$ требуется $O\left( \ln e \right)$ операций умножения по модулю.

Подробнее  

• представим $e$ в двоичной системе счисления:

$e=e_k \cdot 2^k+e_{k-1} \cdot 2^{k-1} + \dots + e_1 \cdot 2 + e_0$, где

$e_k=1, e_i \in \left\{ 0,1 \right\}$

• положим $m_0=m$ и затем для $i = 1, \dots, k$ вычислим

$m_i= \left( m_{i-1}^2 \cdot m^{e_{k-i}} \right) \mod n$

• найденное $M_k \,$ и будет искомым значением $M^e \bmod n \,$

Т. к. каждое вычисление на шаге 2 требует не более трёх умножений по модулю $n \,$ и этот шаг выполняется $k \le \log_2 e \,$ раз, то сложность алгоритма может быть оценена величиной $O( \ln e) \,$.

Чтобы проанализировать время выполнения операций с открытым и закрытым ключами, предположим, что открытый ключ $\left\{ e, n \right\}$ и закрытый ключ $\left\{ d, n \right\}$ удовлетворяют соотношениям $\log_2 e =O(1)$, $\log_2 d \le \beta$. Тогда в процессах их применения выполняется соответственно $O \left( 1 \right)$ и $O \left( \beta \right)$ умножений по модулю.

Таким образом время выполнения операций растёт с увеличением количества ненулевых битов в двоичном представлении открытой экспоненты e. Чтобы увеличить скорость шифрования, значение e часто выбирают равным 17, 257 или 65537 — простым числам, двоичное представление которых содержит лишь две единицы: 17₁₀=10001₂, 257₁₀=100000001₂, 65537₁₀=10000000000000001₂ (простые числа Ферма).

По эвристическим оценкам длина секретной экспоненты $d$, нетривиальным образом зависящей от открытой экспоненты $e$ и модуля $n$, с большой вероятностью близка к длине $n$. Поэтому расшифрование данных идёт медленнее чем шифрование, а проверка подписи быстрее чем её создание.

Алгоритм RSA намного медленнее чем AES и другие алгоритмы блочного шифрования.

Криптоанализ RSA

Стойкость алгоритма основывается на сложности вычисления обратной функции к функции шифрования

$c = E(m) = m ^ e \mod n$.

Для вычисления $m$ по известным $c, e, n$ нужно найти такой $d$, чтобы

$e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)},$

то есть

$d \equiv e^{-1} \pmod{\varphi(n)}.$

Вычисление обратного элемента по модулю не является сложной задачей, однако злоумышленнику неизвестно значение $\varphi(n)$. Для вычисления функции Эйлера от известного числа $n$ необходимо знать разложение этого числа на простые множители. Нахождение таких множителей и является сложной задачей, а знание этих множителей — «потайной дверцей» (англ. backdoor), которая используется для вычисления $d$ владельцем ключа. Существует множество алгоритмов для нахождения простых сомножителей, так называемой факторизации, самый быстрый из которых на сегодняшний день — общий метод решета числового поля, скорость которого для k-битного целого числа составляет

$\exp (( c + o(1))k^{\frac{1}{3}} \log^{\frac{2}{3}}k)$ для некоторого $c < 2$.

В 2010 году группе учёных из Швейцарии, Японии, Франции, Нидерландов, Германии и США удалось успешно вычислить данные, зашифрованные при помощи криптографического ключа стандарта RSA длиной 768 бит. Нахождение простых сомножителей осуществлялось общим методом решета числового поля. По словам исследователей, после их работы в качестве надежной системы шифрования можно рассматривать только RSA-ключи длиной 1024 бита и более. Причём от шифрования ключом длиной в 1024 бит стоит отказаться в ближайшие три-четыре года.

Кроме того, при неправильной или неоптимальной реализации или использовании алгоритма возможны специальные криптографические атаки, такие как атаки на схемы с малой секретной экспонентой или на схемы с общим выбранным значением модуля.

Применение RSA

Система RSA используется для защиты программного обеспечения и в схемах цифровой подписи.

Также она используется в открытой системе шифрования PGP и иных системах шифрования (к примеру, DarkCryptTC и формат xdc) в сочетании с симметричными алгоритмами.

Из-за низкой скорости шифрования (около 30 кбит/с при 512 битном ключе на процессоре 2 ГГц), сообщения обычно шифруют с помощью более производительных симметричных алгоритмов со случайным ключом (сеансовый ключ), а с помощью RSA шифруют лишь этот ключ, таким образом реализуется гибридная криптосистема. Такой механизм имеет потенциальные уязвимости ввиду необходимости использовать криптостойкий генератор случайных чисел для формирования случайного сеансового ключа симметричного шифрования и эффективно противостоящий атакам симметричный криптоалгоритм (в данное время широкое применение находят AES, IDEA, Serpent, Twofish).

Литература

• Rivest R. L., Shamir A., Adleman L. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems  (англ.) // Communications of the ACM. — New York, NY, USA: ACM, 1978. — Т. 21. — № 2, Feb. 1978. — С. 120—126. — ISSN 0001-0782. — DOI:10.1.1.40.5588
• A. Menezes, P. van Oorschot, S. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography. — CRC-Press, 1996. — 816 p. — (Discrete Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-8493-8523-7
• Венбо Мао Современная криптография. Теория и практика = Modern Cryptography: Theory and Practice. — М.: Вильямс, 2005. — 768 с. — 2 000 экз. — ISBN 5-8459-0847-7, ISBN 0-13-066943-1
• Нильс Фергюсон, Брюс Шнайер Практическая криптография = Practical Cryptography: Designing and Implementing Secure Cryptographic Systems. — М.: «Диалектика», 2004. — 432 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-8459-0733-0, ISBN 0-4712-2357-3
• Шнайер Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C. — М.: Триумф, 2002. — 816 с. — 3000 экз. — ISBN 5-89392-055-4