Обратный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий общей алгебры.

Определения[править | править вики-текст]

  • Пусть (M,\cdot)множество M с определённой на нём бинарной операцией \cdot. Пусть x \in M — произвольный элемент множества M. Если справедливо равенство
         x \cdot y = e,
    где y \in M, а e \in M - нейтральный элемент относительно операции \cdot, то y называется обра́тным спра́ва к x.
  • Аналогичным образом, если выполнено
        y \cdot x = e,
    то y называется обра́тным сле́ва к x.
  • Элемент y\in M, являющийся обратным к x и справа, и слева, то есть такой, что
         x \cdot y = y \cdot x = e,
    называется просто обратным к x и обозначается x^{-1}.
  • Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация (M,+), то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается -x.
  • Вообще говоря, один и тот же элемент x\in M может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть операция \cdot ассоциативна. Тогда если для элемента x\in M определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Примеры[править | править вики-текст]

Множество Бинарная операция Обратный элемент
Вещественные числа + (сложение) -x (противоположное число)
Вещественные числа не равные нулю \cdot (умножение) 1/x (обратное число)
Функции вида f:M\to M \circ (композиция функций) f^{-1} (обратная функция)

См. также[править | править вики-текст]