Обратный элемент

Текущая версия (не проверялась)

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.

Содержание

Пусть $(M,\cdot)$ — множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией $\cdot$ . Пусть $x \in M$ — произвольный элемент множества $M$ . Если справедливо равенство
$x \cdot y = e,$
где $y \in M$ , а $e \in M$ - нейтральный элемент относительно операции $\cdot$ , то $y$ называется обра́тным спра́ва к $x$ .
Аналогичным образом, если выполнено
$y \cdot x = e,$
то $y$ называется обра́тным сле́ва к $x$ .
Элемент $y\in M$ , являющийся обратным к $x$ и справа, и слева, то есть такой, что
$x \cdot y = y \cdot x = e,$
называется просто обратным к $x$ и обозначается $x - 1$ .
Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация $(M, + )$ , то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается $- x$ .
Вообще говоря, один и тот же элемент $x\in M$ может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Пусть операция $\cdot$ ассоциативна. Тогда если для элемента $x\in M$ определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	$- x$
Вещественные числа не равные нулю	$\cdot$ (умножение)	$1 / x$
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	$f - 1$ (обратная функция)