Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой

$T+T=S$

В данном случае решением уравнения $S=nT$ является $n=2$

Дискретное логарифмирование на эллиптической кривой — решение уравнения $S=nT{\pmod {m}}$ относительно $n$ при известных $S$ и $T$, где $S,T$ — точки, принадлежащие эллиптической кривой и являющиеся зашифрованным сообщением и начальной точкой соответственно. Иначе говоря — это метод взлома системы безопасности, основанной на данной эллиптической кривой (например российский стандарт ЭП ГОСТ Р 34.10-2012), и нахождения секретного ключа.

История

Эллиптическая криптография относится к разряду асимметричной, то есть шифрование происходит с помощью открытого ключа. Впервые этот алгоритм был независимо предложен Нилом Коблицем и Виктором Миллером в 1985 году. Это было обосновано тем, что дискретный логарифм на эллиптической кривой оказался сложнее классического дискретного логарифма на конечном поле. До сих пор не существует быстрых алгоритмов взлома сообщения, зашифрованного с помощью эллиптической кривой, в общем случае. В основном уязвимости таких шифров связаны с рядом недочетов при подборе начальных данных.

Введение

Данный метод основан на сведении дискретного логарифма на эллиптической кривой к дискретному логарифму в конечном поле с некоторым расширением поля, на котором была задана эллиптическая кривая. Это значительно облегчает задачу, так как на данный момент существуют достаточно быстрые субэкспоненциальные алгоритмы решения дискретного логарифма, имеющие сложность $O\left(\exp \left(c\left(\ln p\right)^{k}\left(\ln \ln p\right)^{k-1}\right)\right)$, или $\rho$-алгоритм Полларда со сложностью $O({\sqrt {\pi p/2}})$, разработанные для конечных полей.

Теория

Пусть $E$ — эллиптическая кривая, заданная в форме Вейерштрасса, над конечным полем $F_{q}$ порядка $q$:

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

Предположим, что коэффициенты $a_{i}\in F_{q}$ таковы, что кривая не имеет особенностей. Точки кривой $E$ вместе с бесконечноудаленной точкой $P_{\infty }$, которая является нулевым элементом, образуют коммутативную группу, записывающуюся аддитивно, то есть для $\forall A,B\in E(F_{q}),A+B=B+A=C\in E(F_{q})$. Также известно, что если $F_{q}$ — конечное поле, то порядок такой группы $N_{q}$ по теореме Хассе будет удовлетворять уравнению $|N_{q}-q-1|\leq 2{\sqrt {q}}$.

Пусть $E(F_{q'})$ — подгруппа точек $E$, определённых над $F_{q'}\supseteq F_{q}$. Следовательно, $E(F_{q'})$ — конечная коммутативная группа. Возьмем точку $P\in E(F_{q})$, порождающую циклическую группу порядка $m$. То есть $|\langle P\rangle |=m$.

Задача вычисления дискретных логарифмов в $\langle P\rangle$ заключается в следующем. Для данной точки $Q\in \langle P\rangle$ найти $n{\pmod {m}}$ такое, что $nP=Q$.

Задача вычисления дискретных логарифмов в конечном поле $F_{q}$ заключается в следующем. Пусть $\alpha$ — примитивный элемент поля $F_{q}$. Для данного ненулевого $\beta$ найти $n{\pmod {(q-1)}}$ такое, что $\alpha ^{n}=\beta$.

Пусть НОК$(m,q)=1$ и расширение поля $F_{q'}\supseteq F_{q}$ такое, что $E(F_{q'})$ содержит подгруппу кручения $E[m]$, изоморфную $\mathbb {Z} /m\times \mathbb {Z} /m$, то есть $E[m]=\{P,T\in E(F_{q'}):mP=0,mT=0\}$. Известно, что такое расширение существует. Из этого следует, что $q'=q^{k}$ для некоторого $k\geqslant 1$. В этом случае будет выполняться следующая теорема, позволяющая перейти к дискретному логарифму в расширенном конечном поле:

Теорема

Пусть задана точка $T\in E(F_{q'})$ такая, что $\langle P,T\rangle =E[m]$. Тогда сложность вычисления дискретных логарифмов в группе $\langle P\rangle$ не больше сложности вычисления дискретных логарифмов в $F_{q'}$.

Чтобы воспользоваться данной теоремой, необходимо знать степень $k$ расширения поля $F_{q'}$ над $F_{q}$ и точку $T$, для которой $\langle P,T\rangle =E[m]$.

Случай суперсингулярной эллиптической кривой

Для суперсингулярной кривой $E$, $k$ и $T$ легко находятся, при этом $k\leq 6$. Это было установлено Альфредом Менезесом, Окамото Тацуаки и Скоттом Ванстоуном в 1993 году. В своей статье они описали вероятностный алгоритм вычисления вспомогательной точки $T$, среднее время работы которого ограничено полиномом от $\log {q'}$.

Общий случай

Пусть $G$ — максимальная подгруппа $E(F_{q'})$, порядок элементов которой является произведением простых множителей $m$. Таким образом, $E[m]\subseteq G$ и $G=\mathbb {Z} /m_{1}\times \mathbb {Z} /m_{2}$, где $m$ делит $m_{1}$ и $m_{2}$. При этом $m_{1}\neq m_{2}$ (в случае $m_{1}=m_{2}$, под нахождение точки $T$ можно адаптировать метод для суперсингулярных кривых). Пусть $l$ — минимальное натуральное число, для которого выполняется $q^{l}\equiv 1{\pmod {m}}$.

Теорема

Пусть НОК$(m,q-1)=1$. Тогда $k=l$ и если известно разложение $m$ на простые множители, то имеется вероятностный алгоритм вычисления точки $T\in E(F_{q'})$, для которой $\langle P,T\rangle =E[m]$. Среднее время работы алгоритма равно $O(log^{c}{q'})$ операций в поле $F_{q'}$ для некоторой постоянной $c$ и $m\rightarrow \infty$.

В случаях, когда НОК$(m,q-1)\neq 1$, алгоритм работает слишком медленно, либо не работает вовсе.

См. также

• Дискретное логарифмирование
• Эллиптическая криптография
• Теория групп

Литература

Теория

• Семаев И. А. О вычислении логарифмов на эллиптических кривых. — Дискрет. матем., 1996. — Т. 8, вып. 1. — С. 65–71.
  • Дополнение: Семаев И. А. К вопросу о сведении вычисления дискретных логарифмов на эллиптической кривой к вычислению дискретных логарифмов в конечном поле. — Дискрет. матем., 1999. — Т. 11, вып. 3. — С. 24–28.
• Don Johnson, Alfred Menezes, Scott Vanstone. The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). — Certicom Research, Canada. Архивировано 4 марта 2016 года.

История

• Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. An Introduction to Mathematical Cryptography. — Springer. — 530 с.