Абсолютная группа Галуа

Абсолютная группа Галуа $G_{K}$ поля $K$ — группа Галуа $K^{sep}$ над $K$, где $K^{sep}$ — сепарабельное замыкание $K$. Также определяется как группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания поля $K$, которые оставляют $K$ неподвижным. Абсолютная группа Галуа уникальна с точностью до изоморфизма. Является проконечной группой.

(Если $K$ — совершенное поле, $K^{sep}$ совпадает с алгебраическим замыканием $K^{alg}$ поля $K$. Например, это верно для полей характеристики 0 и конечных полей.)

Примеры

• Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
• Абсолютная группа Галуа действительных чисел — циклическая группа, состоящая из двух элементов (комплексного сопряжения и тождественного отображения), так как $\mathbb {C}$ — сепарабельное замыкание $\mathbb {R}$ и $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$.
• Абсолютная группа Галуа конечного поля $K$ изоморфна группе ${\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$ Здесь $\varprojlim$ — проективный предел.

Автоморфизм Фробениуса $Fr$ — канонический (топологический) генератор $G_{K}$ ($Fr(x)=x^{q}$, где $q$ — число элементов в $K$).

• Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами является свободной проконечной группой.
• В более общем случае, пусть $C$ — алгебраически замкнутое поле и $x$ — переменная. Тогда абсолютная группа Галуа поля $K=C(x)$ — свободная группа ранга равного мощности $C$.
• Пусть $K$ — конечное расширение p-адических чисел $Q_{p}$. Для $p\neq 2$, его абсолютная группа Галуа порождается $[K:Q_{p}]+3$ элементами и имеет явное описание в терминах образующих и соотношений.
• Абсолютная группа Галуа определена для наибольшего чисто вещественного подполя поля алгебраических чисел.

Открытые проблемы

• Неизвестно явное описание абсолютной группы Галуа рациональных чисел. В этом случае из теоремы Белого следует, что абсолютная группа Галуа имеет эффективное действие на dessins d’enfants Гротендика, что позволяет представить в наглядном виде теорию Галуа полей алгебраических чисел.
• Гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа максимального абелева расширения рациональных чисел — свободная проконечная группа.