Теорема Радона — Никодима

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть  — пространство с мерой и мера -конечна. Тогда если мера абсолютно непрерывна относительно , то существует измеримая функция , такая что

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

  • Функция , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры относительно меры . Пишут:

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть  — -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве . Тогда если и , то
  • Пусть . Тогда
выполнено -почти всюду.
  • Пусть и  — измеримая функция, интегрируемая относительно меры , то
  • Пусть и . Тогда
  • Пусть  — заряд. Тогда

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. также[править | править вики-текст]