Алгебра с единицей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра с единицей (также унитальная алгебра, калька с англ. unital algebra) — алгебра над кольцом, в которой существует нейтральный элемент по отношению к умножению (единица), то есть такой элемент , что для всех элементов алгебры выполняются равенства

Это определение эквивалентно тому, что данная алгебра является моноидом по отношению к умножению. Как и в случае любого моноида, нейтральный элемент является единственным.

Многие ассоциативные алгебры, включая алгебры групп, полиномов и матриц, являются унитарными, если этим свойством обладают соответствующие кольца. Большинство функциональных алгебр, рассматриваемых в математическом анализе, напротив, свойством унитарности не обладают. К таковым относится, например, алгебра функций с интегрируемым квадратом и неограниченной областью определения, а также алгебра функций, являющихся бесконечно малыми на бесконечности (особенно функций с компактным носителем в некоторых некомпактных пространствах).

Пусть и  — унитарные алгебры, тогда гомоморфизм является унитарным, если он отображает нейтральный элемент в нейтральный элемент .

Литература[править | править код]