Биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Биномиальное распределение
Функция вероятности
Probability mass function for the binomial distribution
Функция распределения
Обозначение
Параметры — число «испытаний»
— вероятность «успеха»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана одно из
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром , то есть при каждом величина принимает значения («успех») и («неудача») с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами и . Это записывается в виде:

.

Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

где

 — биномиальный коэффициент.

Функция распределения[править | править вики-текст]

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции:

.

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,
,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения[править | править вики-текст]

  • Пусть и . Тогда .
  • Пусть и . Тогда .

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
  • Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где  — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
  • Если большое, а  — фиксированное число, то , где  — распределение Пуассона с параметром .
  • Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .

См. также[править | править вики-текст]

Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула