Группа Баумслага — Солитера

Граф Кэли группы $BS(1,2)$.

Группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими $a$ и $b$ и одним соотношением

$ab^{m}a^{-1}=b^{n}.$

Обычно, эта группа обычно обозначается $BS(m,n)$.

Примеры и свойства

• $BS(1,1)$ это свободная абелева группа с двумя образующими,
• $BS(1,-1)$ фундаментальная группа бутылки Клейна
• $BS(1,n)$ при $n>1$ изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями $a:x\to nx$ и $b:x\to x+1$.
• Группа $BS(2,3)$ (наряду с остальными группами $BS(m,n)$, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы. А именно, эпиморфизм $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ не является автоморфизмом $BS(2,3)$.
• Группа $BS(n,m)$ допускает линейное представление $a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$ and $b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )}$.
  • Это преставление не является эффективным, то есть различные элементы группу могут соответствовать одному линейному оператору.
• Группа $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$, $|n|=1$, или $|m|=|n|$

Ссылки

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Архивная копия от 26 июня 2010 на Wayback Machine», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups Архивная копия от 29 ноября 2015 на Wayback Machine, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR: 0142635