Изотомическое сопряжение

В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.

Определение

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого $A_{0}$ — середина стороны $BC$, $B_{0}$ — середина $AC$ и $C_{0}$ — середина стороны $AB$. Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка $P$, не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые $AP$, $BP$ и $CP$. Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1$. Если теперь точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ симметрично отразить относительно $A_{0}$, $B_{0}$ и $C_{0}$ соответственно, получатся точки $A_{2}$, $B_{2}$ и $C_{2}$ (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку $AC_{1}=BC_{2}$, $AC_{2}=BC_{1}$ и так же для остальных пар точек, получаем $1={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}={\frac {BC_{2}}{C_{2}A}}\cdot {\frac {CA_{2}}{A_{2}B}}\cdot {\frac {AB_{2}}{B_{2}C}}$ и, согласно той же теореме Чевы, прямые $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ пересекаются в одной точке $P'$. Эта точка называется изотомически сопряжённой точке $P$ относительно треугольника $ABC$.

Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми $AB$, $BC$ и $AC$. На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой $BC$ соответствует вершина $A$ (и наоборот, вершине $A$ — всякая точка $BC$) и так далее.

Координаты

Если барицентрические координаты точки $P$ суть $(p:q:r)$, то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки $P'$ суть $\left({\frac {1}{p}}:{\frac {1}{q}}:{\frac {1}{r}}\right)$.

Если трилинейные координаты точки $P$ суть $(p:q:r)$, то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки $P'$ суть $\left({\frac {1}{a^{2}p}}:{\frac {1}{b^{2}q}}:{\frac {1}{c^{2}r}}\right)$.

Другое определение

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Свойства

• Изотомическое сопряжение является инволюцией, то есть его квадрат тривиален.

• Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника $ABC$ и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон.
• Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены.
• Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара.
• Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис,
• Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.

См. также

• Изогональное сопряжение
• Изоциркулярное преобразование

Ссылки

• А. Г. Мякишев "Элементы геометрии треугольника", М., МЦНМО, 2002
• Е. А. Куланин, А. Г. Мякишев "О некоторых кониках, связанных с треугольником"