Барицентрические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется[1] термин «базис барицентрических координат») в n-мерном аффинном пространстве A  представляет собой систему из (n+1)-й точки P_0, P_1, \ldots, P_n,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в (n-1)-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть P есть произвольная точка в A.  Каждая точка  M\in A  может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

M = P + \alpha_0\cdot\overrightarrow{PP}_0+\alpha_1\cdot\overrightarrow{PP}_1+\ldots+\alpha_n\cdot\overrightarrow{PP}_n;

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

\alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_n=1.
Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n  и называются барицентрическими координатами точки M.  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора P.

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

M = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \ldots + \alpha_n P_n.

Определение барицентрических координат точки внутри треугольника[править | править вики-текст]

Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX}).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
  • Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в P_0, P_1, \ldots, P_n неотрицательны и их сумма равна единице.
  • Обращение в нуль барицентрической координаты \alpha_i равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине P_i. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
  • В Барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой (x:y:z)\mapsto(x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}). В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.

Связь с трилинейные координатами[править | править вики-текст]

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если (\alpha:\beta:\gamma) — барицентрические координаты точки X относительно треугольника ABC, а a, b, c — длины его сторон, то

(x:y:z)=\left(\frac{\alpha}{a}:\frac{\beta}{b}:\frac{\gamma}{c}\right)

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Механическая интерпретация[править | править вики-текст]

Точка M является центром масс \alpha_0, \alpha_1,  \ldots, \alpha_n, расположенных в точках P_0, P_1, \ldots, P_n.

История[править | править вики-текст]

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 197.
  2. Боголюбов, 1983, с. 95—96.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]