Барицентрические координаты

Не следует путать с барицентрической системой отсчёта.

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат») в $n$-мерном аффинном пространстве $A$  представляет собой систему из $(n+1)$-й точки $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в $(n-1)$-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение

Пусть $P$ есть произвольная точка в $A$.  Каждая точка  $M\in A$  может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

$M=P+\alpha _{0}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{0}+\alpha _{1}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{n};$

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

$\alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.$

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$  и называются барицентрическими координатами точки $M$.  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора $P$.

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

$M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.$

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты $\alpha _{i}$ равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине $P_{i}$. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
• В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой $(x:y:z)\mapsto (x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})$. В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
• Для точки $X$, лежащей внутри треугольника $ABC$, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников $(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})$.
• Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если $(\alpha :\beta :\gamma )$ — барицентрические координаты точки $X$ относительно треугольника $ABC$, а $a,b,c$ — длины его сторон, то

  $(x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)$

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

• Точка $M$ является центром масс грузиков с массами $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$, расположенных в точках $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$.

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.

Литература

• Балк М. Б., Болтянский В. Г.  Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. — 160 с. — (Библиотечка «Квант». Вып. 61).
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.

См. также

• Трилинейные координаты
• Аффинные преобразования
• Аффинное пространство