Барицентрические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется[1] термин «базис барицентрических координат») в -мерном аффинном пространстве   представляет собой систему из -й точки ,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в -мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть есть произвольная точка в .  Каждая точка    может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа   и называются барицентрическими координатами точки .  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора .

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

Свойства[править | править вики-текст]

  • Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
  • Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в неотрицательны и их сумма равна единице.
  • Обращение в нуль барицентрической координаты равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
  • В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой . В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
  • Для точки , лежащей внутри треугольника , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников .
  • Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если  — барицентрические координаты точки относительно треугольника , а — длины его сторон, то
её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
  • Точка является центром масс грузиков с массами , расположенных в точках .

История[править | править вики-текст]

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 197.
  2. Боголюбов, 1983, с. 95—96.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]