Квадратичный вычет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичный вычет по простому модулю — число , для которого разрешимо сравнение

Если указанное сравнение не разрешимо, то число называется квадратичным невычетом по модулю .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Критерий Эйлера: Пусть простое. Число a, взаимно простое с , является квадратичным вычетом по модулю тогда и только тогда, когда
и является квадратичным невычетом по модулю p тогда и только тогда, когда

Количество[править | править вики-текст]

По простому модулю[править | править вики-текст]

Для простого модуля существует ровно квадратичных вычетов и невычетов.

По произвольному модулю[править | править вики-текст]

Вальтер Стангл в 1996 году представил формулу, позволяющую вычислить количество квадратичных вычетов по произвольному модулю .[1]

Пусть  — каноническое разложение числа . Тогда для количества квадратичных вычетов по модулю верна формула

Если , то первый множитель не учитывается.

Распределение[править | править вики-текст]

Количество в интервале[править | править вики-текст]

Пусть  — простое, . Обозначим через количество квадратичных вычетов по модулю среди чисел .

И. М. Виноградовым было доказано, что , где .

Из этого следует, что в произвольных интервалах достаточно большой длины (такой, что ) будет иметь место асимптотическое равенство , то есть квадратичных вычетов и невычетов асимптотически будет поровну.

Наименьший квадратичный невычет по данному модулю[править | править вики-текст]

Обозначим через минимальный положительный квадратичный невычет по модулю .

Верхние оценки[править | править вики-текст]

Пусть  — простое число.

Из неравенства (см. раздел «количество в интервале»), напрямую следует, что , то есть .

В результате более глубоких исследований Виноградов доказал, что .

Существует выдвинутая Виноградовым гипотеза о том, что .

Если гипотеза Римана верна, то .

Нижние оценки[править | править вики-текст]

Для наименьшего квадратичного вычета по простому модулю известна также условная оценка и безусловная оценка .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Stangl, Walter D. (October 1996), "Counting Squares in ℤn", Mathematics Magazine Т. 69 (4): 285–289, doi:10.2307/2690536, <http://www.maa.org/sites/default/files/Walter_D22068._Stangl.pdf> 

Литература[править | править вики-текст]

  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — С. 132-133. — 272 с. — ISBN 9785769546464.