Многомерная случайная величина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многомерная случайная величина или случайный вектор (математика, вероятность и статистика)  - это список математических переменных, значения каждого из которых неизвестно, либо потому что значение еще не произошло, или из-за несовершенного знания его значении. Индивидуальные переменные в случайном векторе сгруппированы вместе, потому что они являются частью единой математической системы — часто они представляют различные свойства отдельных статистических единиц. Например, пусть какое-то конкретное лицо имеет определенный возраст, рост и вес. Совокупность же этих особенностей у случайного человека из группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора - это действительное число.

Случайные вектора часто используют в качестве базовой реализации различных видов совокупности случайных величин, например, случайные матрицы, случайное дерево, случайная последовательность, случайных процессов т. д.

Более формально, многомерной случайной величиной является столбец вектора (или ее транспонированная матрица, которая представляет собой вектор-строку), компонентами которого являются скалярные значения случайных величин одном и том же вероятностном пространстве , где это пространство элементарных событий, это сигма-алгебра (совокупность всех событий), и есть вероятность измерения (функция, возвращающая вероятность каждого события ).

Распределение вероятностей[править | править код]

Каждый случайный вектор порождает вероятностную меру на  с борелевской алгеброй, лежащей в основе сигма-алгебры. Эта мера также известна как совместное распределение вероятностей, совместное распределение или многомерное распределение случайного вектора.

Распределение каждой из компонент случайных величин называются маргинальными распределениями. Условное распределение вероятностей   учитывая является вероятностный распределением  когда известно как конкретное значение.

Операции на случайных векторах[править | править код]

Случайные вектора могут быть подвергнуты тем же алгебраическим операциям как и в случае с неслучайными векторами: сложение, вычитание, умножение на скаляр, и скалярное произведение.

Аналогично, новый случайный вектор можно определить, применяя аффинное преобразование для случайного вектора :

, где  это матрица   и это вектор состоящий из колонки 

Если  обратима и вероятностная плотность   равна ,тогда вероятностная плотность  

.

Математическое ожидание, ковариация и кросс-ковариация[править | править код]

Математическое ожидание или среднее значение случайного вектора   фиксированный вектор , элементы которого являются ожидаемыми значениями соответствующих случайных величин.

Ковариационная матрица (Также называется дисперсионно-ковариационной матрицей) это случайный вектор  матрицей которого является матрица размером  в которой (i,j)ый элемент это ковариация между  i ой и  j ой случайной величиной. Ковариационная матрица - это математическое ожидание, элемент за элементом, матрицы размером  полученной умножением матриц , где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора:

В дополнение к этому,  и  ( имеет  элементов и  имеет  элементов ) является матрицей 

Где опять указанное матричное ожидание принимается поэтапно в матрице. В ней (i,j)ый элемент это ковариация между i ым элементом матрицы и j ым элементом матрицы Матрица кроссковариации легко получается транспонированием полученной .

Дополнительные свойства[править | править код]

Ожидание квадратичной формы[править | править код]

Возьмем математическое ожидание квадратичной формы в случайном векторе X следующим образом::стр.170–171

Где C - ковариационная матрица X, а tr - это след матрицы, то есть сумма элементов на его главной диагонали (от верхнего левого к правому нижнему). Так как квадратичная форма является скаляром, то это и ее математическое ожидание.

Доказательство: Пусть  - случайный вектор размера  с  и и пусть  - нестохастическая матрица размера  

Тогда, основываясь на базовой формуле ковариации , если мы обозначим  и  ( где в дальнейшем основной знак обозначает транспонирование), мы видим:

Следовательно,

что приводит нас к

Это верно в связи с тем, что при трассировке без изменения конечного результата можно циклически переставлять матрицы (например, tr (AB) = tr (BA)).

Мы видим, что ковариация

и затем

является скаляром, тогда

тривиально. Используя перестановку, получим:

И, включив это в исходную формулу, получим:

Математическое ожидание произведения двух разных квадратичных форм[править | править код]

Возьмем математическое ожидание произведения двух разных квадратичных форм в гауссовском случайном векторе X с нулевым средним следующим образом::стр. 162–176

Где снова C является ковариационной матрицей X. Опять же, поскольку обе квадратичные формы являются скалярами и, следовательно, их произведение является скаляром, математическое ожидание их произведения также является скаляром.

Векторный временной ряд[править | править код]

Эволюцию k × 1 случайного вектора  во времени можно смоделировать как векторную авторегрессию (VAR) следующим образом:

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]