CW-комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения[править | править код]

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

  • (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
  • (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.[1][2]

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xn или skn X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:[3]

  • начинаем с дискретного множества , точки которого считаем нульмерными клетками;
  • по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений Другими словами, пространство  — это факторпространство несвязного объединения и набора шаров по отношению эквивалентности если
  • Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив либо продолжать его бесконечно, положив [4]. Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым

Примеры[править | править код]

  • Пространство гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
  • Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
  • Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
  • n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы .
  • Вещественное проективное пространство[en] допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а  — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
  • Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
  • Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии[править | править код]

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

где определяется как пустое множество.

Группа является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть  — произвольная n-мерная клетка  — ограничение её характеристического отображения на границу, а  — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

где первое отображение отождествляет с отображение  — факторизация, а последнее отображение отождествляет с при помощи характеристического отображения клетки . Тогда граничное отображение

задаётся формулой

где  — степень отображения и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам .

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, для чётных и нулю для нечётных.

Свойства[править | править код]

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии.[5] Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — теорема Уайтхеда[en] (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс.[6] Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (теорема Брауна о представимости[en]). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс[7]. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора[8], гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

Примечания[править | править код]

  1. Уайтхед, 1949, p. 214.
  2. Фоменко, Фукс, 1989, с. 35.
  3. Хатчер, 2011, с. 14.
  4. См. статью прямой предел.
  5. Например, см. Д. О. Баладзе. Клеточное разбиение — статья из Математической энциклопедии.
  6. Хатчер, 2011, с. 445-446.
  7. Martin Arkowitz. Introduction to Homotopy Theory. — Springer, 2011. — С. 302. — ISBN 9781441973290.
  8. Milnor, John. On spaces having the homotopy type of a CW-complex // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1959. — Т. 90. — С. 272–280.

Литература[править | править код]

  • J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. I. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 213–245.
  • J. H. C. Whitehead. Combinatorial homotopy. II. // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 453–496.
  • Хатчер, А. Алгебраическая топология / Пер. с англ. В. В. Прасолова под ред. Т. Е. Панова. — М.: МЦНМО, 2011. — 688 с. — ISBN 978-5-94057-748-5.
  • А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с.