Кольцо Крулля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году[1]. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  A  — область целостности, а  P  — множество всех простых идеалов  A высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов.  A является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

  1.  A_{\mathfrak{p}}  — кольцо дискретного нормирования для всех  \mathfrak{p} \in P ,
  2.  A равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных  A ).
  3. Любой ненулевой элемент  A содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Свойства[править | править вики-текст]

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным[2].

Пусть A — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение \widehat{A} — кольцо Крулля, то и A — кольцо Крулля.[3]

Примеры[править | править вики-текст]

Группа классов дивизоров[править | править вики-текст]

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу D(A) можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу D(A), фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо A факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров D(A). Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара[en] обратимых пучков на Spec(A).

Пример: в кольце k[x,y,z]/(xy-z^2) группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором y=z), тогда как группа Пикара тривиальна.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie, J. Reine Angew. Math. 167: 160—196
  2. Крулля кольцо — статья из Математической энциклопедии. В. И. Данилов
  3. Бурбаки, глава 7, no 10, Предложение 16.
  4. Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Том 13

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. — ISBN 0-521-25916-9.
  • Samuel, Pierre. Lectures on unique factorization domains (англ.). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Проверено 29 июля 2013.