Кольцо Крулля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году[1]. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — область целостности, а  — множество всех простых идеалов высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

  1.  — кольцо дискретного нормирования для всех ,
  2. равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных ).
  3. Любой ненулевой элемент содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Свойства[править | править вики-текст]

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным[2].

Пусть  — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение  — кольцо Крулля, то и  — кольцо Крулля.[3]

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
  • Если  — кольцо Крулля, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов являются кольцами Крулля.
  • Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных над факториальным кольцом  — пример rольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
  • Пусть  — нётерова область с полем частных , и  — конечное расширение . Тогда целое замыкание в  — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты)[4].

Группа классов дивизоров[править | править вики-текст]

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу , фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров . Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара[en] обратимых пучков на .

Пример: в кольце группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором ), тогда как группа Пикара тривиальна.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Krull, Wolfgang (1931), Allgemeine Bewertungstheorie, J. Reine Angew. Math. 167: 160—196
  2. Крулля кольцо — статья из Математической энциклопедии. В. И. Данилов
  3. Бурбаки, глава 7, no 10, Предложение 16.
  4. Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, Том 13

Литература[править | править вики-текст]

  • Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. — ISBN 0-521-25916-9.
  • Samuel, Pierre. Lectures on unique factorization domains (англ.). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Проверено 29 июля 2013.