Конец топологического пространства

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце даёт компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация.

Определение[править | править код]

Пусть X — топологическое пространство, и пусть

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

,

где каждое Un — это компонента связности дополнения X\Kn.

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {Kn} компактных множеств.

Примеры[править | править код]

  • Компактное пространство не имеет концов.
  • Вещественная прямая имеет два конца, ∞ и −∞.
  • Евклидово пространство при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
    • Более того, если М — компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
  • Объединение n лучей, исходящих из начала координат в , имеет n концов.
  • Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству.

История[править | править код]

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году.

Вариации и обобщения[править | править код]

Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {π0(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

Ссылки[править | править код]