Выпуклая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Вогнутая функция»)
Перейти к: навигация, поиск
Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклая функция (выпуклая вниз функция) — функция, для которой любой отрезок между двумя любыми точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика. Эквивалентно, выпуклой является функция, надграфик которой является выпуклым множеством.

Вогнутая функция (выпуклая вверх функция) — функция, хорда между двумя точками графика которой лежит не выше образованной дуги графика, или, что эквивалентно, подграфик которой выпукл.

Понятия выпуклой и вогнутой функции двойственны, притом некоторыми авторами выпуклая функция определяется как вогнутая, и наоборот[1].

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ[en].

Формальные определения[править | править код]

Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции

Числовая функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), выпукла, если для любых двух значений аргумента , и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгим для всех и , то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (сторого вогнутой для строгого случая).

Свойства[править | править код]

  • Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.
  • Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.
  • У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.
  • Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек выполняется неравенство
  • Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
  • Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.
  • Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точке равна нулю).
  • Если функции , выпуклы, то любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами , также выпукла.
  • Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
  • Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Примечания[править | править код]

  1. Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов / под ред. И. В. Мартынова. — Учебное издание. — М.: Инфра-М, 2006. — С. 229. — 448 с. — ISBN 5-16-002752-1.

Литература[править | править код]