Задача Штурма — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (a,\;b) уравнения Штурма — Лиувилля

\!L[y]+\lambda\rho(x)y(x)=0,

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ 
\alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ 
\end{array}

и значений параметра \!\lambda, при которых такие решения существуют.

Оператор \!L[y] здесь — это действующий на функцию \!y(x) линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

L[y]\equiv\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y(x)

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), x — вещественный аргумент.

Функции p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho(x) предполагаются непрерывными на (a,\;b), кроме того функции p(x),\;\rho(x) положительны на (a,\;b).

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения \!\lambda, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Вид уравнения[править | править вики-текст]

Если функции \rho и p дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке [a, b] и функция q непрерывна на [a, b], то уравнение Штурма — Лиувилля вида


(p(x)y')' - q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду


-y'' + q(x)y = \lambda y. \qquad (1)
[1][2].

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию q(x) называют потенциалом[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, L (суммируемыми), L_2 и других.

Виды краевых условий[править | править вики-текст]

  • Условия Дирихле  y(a) = y(b) = 0.
  • Условия Неймана  y'(a) = y'(b) = 0
  • Условия Робена y'(a) - h y(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.
  • Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка [a, b].
  • Распадающиеся краевые условия общего вида
\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ 
\alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ 
\end{array}
  • Периодические условия y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b).
  • Антипериодические условия y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b).
  • Общие краевые условия
a_{i1} y(a) + a_{i2} y'(a) + a_{i3} y(b) + a_{i4} y'(b) = 0, \quad i = 1, 2.

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты a_{ij}. [5][6]

Для удобства произвольный отрезок [a, b] часто переводят в отрезок [0, l] или [0, \pi] с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля[править | править вики-текст]

Оператор Штурма — Лиувилля

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x) y \Bigr)

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора

 p_0(x) y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \dots + p_n(x) y. [7]

Область определения оператора L состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций y, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора L: L y = \lambda y. Если функции p, q, \rho и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор L является самосопряжённым в гильбертовом пространстве L_2([a, b], \rho(x)\, dx). Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом  \rho(x) .

Решение задачи[править | править вики-текст]

Пример[править | править вики-текст]

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:


-y'' = \lambda y, \qquad (2)

y(0) = y(l) = 0

может быть найдено в явном виде[8]. Пусть \lambda = \rho^2. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном \lambda имеет вид


y(x) = A \frac{\sin \rho x}{\rho} + B \cos \rho x \qquad (3)

(в частности, при \rho = 0 (3) дает y(x) = Ax + B). Из y(0) = 0 следует B = 0. Подставляя (3) в краевое условие y(l) = 0, получаем  A \frac{\sin \rho l}{\rho}= 0. Так как мы ищем нетривиальные решения, то A \ne 0, и мы приходим к уравнению на собственные значения


\frac{\sin \rho l}{\rho} = 0.

Его корни  \rho_n = \frac{\pi n}{l}, следовательно, искомые собственные значения имеют вид


\lambda_n = \left( \frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots

а соответствующие им собственные функции суть


y_n(x) = \sin \frac{\pi n}{l}x, \quad n = 1, 2, 3, \dots

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай[править | править вики-текст]

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

представимо в виде линейной комбинации

y(x) = A S(x, \lambda) + B C(x, \lambda) \qquad (5)

его решений S(x, \lambda) и C(x, \lambda), удовлетворяющих начальным условиям

 S(0, \lambda) = C'(0, \lambda) = 0, \quad S'(0, \lambda) = C(0, \lambda) = 1.

Решения S(x, \lambda) и C(x, \lambda) образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по \lambda при каждом фиксированном x. (При q(x) \equiv 0 S(x, \lambda) = \sin \rho x, C(x, \lambda) = \cos \rho x, \rho = \sqrt \lambda). Подставляя (5) в краевые условия y(0) = y(\pi) = 0, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

 \Delta(\lambda) = S(\pi, \lambda),

аналитической во всей \lambda-плоскости.[9]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\pi} q(\tau) \, d \tau,
 y_n(x) = \sin n x + O\left(\frac{1}{n^2}\right),

(в случае непрерывного на [0, \pi] потенциала q(x)).[10] При больших n собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций[править | править вики-текст]

  • Существует бесконечное счетное множество собственных значений: \lambda_1 < \lambda_2 < \dots < \lambda_n < \dots.
  • Каждому собственному значению \lambda_n соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция y_n.
  • Все собственные значения вещественны.
  • В случае граничных условий y(a)=y(b)=0 и при выполнении условия q(x)\geqslant 0 все собственные значения положительны \lambda_n>0.
  • Собственные функции y_n(x) образуют на [a,\;b] ортогональную с весом \rho(x) систему \{y_n(x)\}:
\int\limits_a^b y_n(x)y_m(x)\rho(x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Численные методы решения[править | править вики-текст]

  • Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле y(a) = y(b) = 0, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями u(a) = 0, u'(a) = 1 и вести пристрелку параметра \lambda до выполнения правого краевого условия.[11]
  • Метод конечных разностей[12][13]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
  • Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция y = \{ y_0, y_1, \dots, y_N \} дополняется компонентой y_{N + 1} = \lambda. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.[14]
  • Метод Галёркина.[15]
  • Вариационные методы.[16]

Применение к решению уравнений в частных производных[править | править вики-текст]

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

\rho(x)u_{tt} = (k(x)u_x)_x - q(x)u, \quad 0 < x < l, \, t > 0, \qquad (6)
(h_1 u_x - h u)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)
u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Здесь x и t — независимые переменные, u(x, t) — неизвестная функция, \rho, k, q, \Phi, \Psi — известные функции, h, h_1, H, H_1 — вещественные числа.[17] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

u(x, t) = Y(x)T(t) \qquad (9) .

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T(t)}.

Так как x и t — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через -\lambda. Получаем

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad (10)
-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + H Y(l) = 0. \qquad (12)

Нетривиальные решения (6)-(7) вида (9) существуют только при значениях \lambda, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11)-(12) \lambda_n. Эти решения имеют вид  T_n(t) Y_n(x), где Y_n(x) — собственные функции задачи (11)-(12), T_n(t) — решения уравнения (10) при \lambda = \lambda_n. Решение задачи (6)-(8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля Y_n(x)):

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Обратные задачи Штурма — Лиувилля[править | править вики-текст]

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала q(x) оператора Штурма — Лиувилля -y'' + q(x)y и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.[18][3][9] Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ( -\infty < x < \infty ).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

  1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
  2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве L_2.
  3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1-3 однозначно определяет потенциал q(x). Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1-3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.[9]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака, 1988, с. 10.
  2. Юрко В. А. Уравнения математической физики, с. 45.
  3. 1 2 Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения, 1977.
  4. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.
  5. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.
  6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 72.
  7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.
  8. Юрко В. А. Уравнения математической физики, с. 25.
  9. 1 2 3 Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач, 2007.
  10. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака.
  11. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 281.
  12. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 284.
  13. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4.
  14. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 286.
  15. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 287.
  16. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
  17. Юрко В. А. Уравнения математической физики, 2010, с. 30.
  18. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака, 1988.

Литература[править | править вики-текст]

  • Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
  • Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
  • Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
  • Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
  • Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
  • Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.