Задача Штурма — Лиувилля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

и значений параметра , при которых такие решения существуют.

Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера),  — вещественный аргумент.

Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на .

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Вид уравнения[править | править вики-текст]

Если функции и дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке и функция непрерывна на , то уравнение Штурма — Лиувилля вида

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду

[1][2].

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию называют потенциалом[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, (суммируемыми), и других.

Виды краевых условий[править | править вики-текст]

  • Условия Дирихле
  • Условия Неймана
  • Условия Робена
  • Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка .
  • Распадающиеся краевые условия общего вида
  • Периодические условия .
  • Антипериодические условия .
  • Общие краевые условия

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты . [5][6]

Для удобства произвольный отрезок часто переводят в отрезок или с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля[править | править вики-текст]

Оператор Штурма — Лиувилля

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора

[7]

Область определения оператора состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора : . Если функции , , и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор является самосопряжённым в гильбертовом пространстве . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом .

Решение задачи[править | править вики-текст]

Пример[править | править вики-текст]

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

может быть найдено в явном виде[8]. Пусть . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном имеет вид

(в частности, при (3) дает ). Из следует . Подставляя (3) в краевое условие , получаем . Так как мы ищем нетривиальные решения, то , и мы приходим к уравнению на собственные значения

Его корни , следовательно, искомые собственные значения имеют вид

а соответствующие им собственные функции суть

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай[править | править вики-текст]

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

представимо в виде линейной комбинации

его решений и , удовлетворяющих начальным условиям

.

Решения и образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по при каждом фиксированном . (При , , ). Подставляя (5) в краевые условия , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

аналитической во всей -плоскости.[9]

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

(в случае непрерывного на потенциала ).[10] При больших собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций[править | править вики-текст]

  • Существует бесконечное счетное множество собственных значений: .
  • Каждому собственному значению соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция .
  • Все собственные значения вещественны.
  • В случае граничных условий и при выполнении условия все собственные значения положительны .
  • Собственные функции образуют на ортогональную с весом систему :

Численные методы решения[править | править вики-текст]

  • Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями , и вести пристрелку параметра до выполнения правого краевого условия.[11]
  • Метод конечных разностей[12][13]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
  • Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция дополняется компонентой . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.[14]
  • Метод Галёркина.[15]
  • Вариационные методы.[16]

Применение к решению уравнений в частных производных[править | править вики-текст]

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

Здесь и  — независимые переменные,  — неизвестная функция, , , , ,  — известные функции,  — вещественные числа.[17] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

.

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

Так как и  — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через . Получаем

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

Нетривиальные решения (6)-(7) вида (9) существуют только при значениях , являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11)-(12) . Эти решения имеют вид , где  — собственные функции задачи (11)-(12),  — решения уравнения (10) при . Решение задачи (6)-(8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ):

Обратные задачи Штурма — Лиувилля[править | править вики-текст]

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала оператора Штурма — Лиувилля и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.[18][3][9] Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ().

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

  1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
  2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве .
  3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1-3 однозначно определяет потенциал . Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1-3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.[9]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака, 1988, с. 10.
  2. Юрко В. А. Уравнения математической физики, с. 45.
  3. 1 2 Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения, 1977.
  4. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач.
  5. Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.
  6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 72.
  7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы.
  8. Юрко В. А. Уравнения математической физики, с. 25.
  9. 1 2 3 Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач, 2007.
  10. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака.
  11. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 281.
  12. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 284.
  13. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4.
  14. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 286.
  15. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 287.
  16. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
  17. Юрко В. А. Уравнения математической физики, 2010, с. 30.
  18. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака, 1988.

Литература[править | править вики-текст]

  • Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
  • Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
  • Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
  • Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
  • Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
  • Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.