Можно ли услышать форму барабана?

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Первый пример двух неконгруэнтных барабанов, звучащих одинаково. Обратите внимание, что фигуры имеют равные площади и периметры

«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса, восходящий к Герману Вейлю.

Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?

Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца, опубликованной в 1966 году[1]. Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен премии Форда (англ.) в 1967 году и премии Шовенэ (англ.) в 1968 году[2].

Формулировка[править | править вики-текст]

Барабан мыслится как плоская область , граница которой фиксирована. Обозначим через её n-ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения , для которых существует функция такая, что

Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.

Поэтому вопрос можно переформулировать так:

  • Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?

Вариации[править | править вики-текст]

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака[en]. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.

Ответы[править | править вики-текст]

Плоские торы[править | править вики-текст]

Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.

Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».

Области на плоскости[править | править вики-текст]

Однопараметрическое семейство пар изоспектральных барабанов. Каждый из двух барабанов составлен из 7 равных треугольников[3]

В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба региона имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.

Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».

Частные случаи[править | править вики-текст]

Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.

  • Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
  • Ответ на вопрос положителен для выпуклых плоских областей с аналитическими границами.
    • Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
  • Известно, что множество изоспектральных областей компактно в -топологии.
  • По теореме сравнения Чжэна (англ.) сфера является спектрально-жёсткой, то есть многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Kac, Mark (April 1966). «Can One Hear the Shape of a Drum?». American Mathematical Monthly 73 (4, part 2): 1—23. DOI:10.2307/2313748.
  2. Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America
  3. Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter & Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Some planar isospectral domains", International Mathematics Research Notices Т. 9: 391ff 

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]