Мультииндекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса[править | править вики-текст]

n-мерный мультииндекс — это вектор

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов и вектора вводятся:

  • Покомпонентное сложение и вычитание
  • Абсолютное значение как сумма компонентов
где

Некоторые приложения[править | править вики-текст]

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты[править | править вики-текст]

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

Формула Лейбница[править | править вики-текст]

Для гладких функций f и g

Разложение в ряд Тейлора[править | править вики-текст]

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

Оператор дифференцирования[править | править вики-текст]

Формальный оператор взятия частной производной N-того порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

Интегрирование по частям[править | править вики-текст]

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области имеем:

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме[править | править вики-текст]

Если  — это мультииндексы и , то

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

Положим , и . Тогда

Здесь каждое дифференцирование сводится к соответствующей обыкновенной производной , так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция зависит только от . Поэтому из уравнения (1) следует, что исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

для каждого .

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.