Отображение тент

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом: $f_{\mu }=\mu \min\{x,1-x\}$

Для значений $\mu \in [0;2]$ отображение тент переводит отрезок $[0;1]$ в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки $x_{0}$ из интервала $[0;1]$ является последовательность $x_{n}$ :

График общего случая отображения тент

График случая $\mu =2$ для 1, 2 и 3 итераций отображения тент

$x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2}},\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}$

Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: плотность периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность.

Свойства

Орбиты отображения для $\mu =2$

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mu =0.75$

• Если $\mu \in [0;1)$, $x=0$ является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении $x$ из отрезка $[0;1]$.
• Если $\mu =1$, все $x\in [0;0.5]$ — неподвижные точки, а $x\in (0.5;1]$ — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
• Если $\mu \in (1;2]$, то отображение имеет две неподвижные точки: $x=0$ и $x={\frac {\mu }{1+\mu }}$. Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения $x$, лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений $\mu$, в интервале $x\in [\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]$ содержатся и периодические, и непериодические точки.
• Если $\mu \in (1;{\sqrt {2}}]$, то система отображает множество интервалов из отрезка $[\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]$ в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
  • увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.

• 
  Бифуркационная диаграмма отображения тент. Более высокая плотность соответствует более высокой вероятности, что переменная x примет данное значение для параметра $\mu$
• 
  При увеличении вблизи острия видно 4 интервала
• 
  При дальнейшем увеличении видно 8 интервалов

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mu =1.2(\mu <{\sqrt {2}})$

• Если $\mu \in ({\sqrt {2}};2]$, то интервалы из отрезка $[\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]$ сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал $[\mu -{\mu ^{2}}/2;{\mu }/2]$ (см. бифуркационную диаграмму).

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mu =1.8(\mu >{\sqrt {2}})$

• Если $\mu =2$, то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для $\mu =2$ отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для $r=4$ и полусопряжен $\mu =2$ отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений. Действительно, пусть $x_{n}$ — орбита отображения тент при $\mu =2$, а $y_{n}$ — орбита логистического отображения для $r=4$, тогда они связаны соотношением: $x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).$.
• Если $\mu \in (2;+\infty )$, множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка $[0;1]$ стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для $\mu =3$ — стандартное канторово множество.

Асимметричное отображение тент

Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент $f_{\alpha }:[0;1]\rightarrow [0;1],\alpha \in (1;+\infty )$. Его можно считать расширением случая $\mu =2$ стандартного отображения тент:

$x_{n+1}=f_{\alpha }(x_{n})={\begin{cases}\alpha x_{n}&\mathrm {for} ~~0\leq x_{n}<{\frac {1}{\alpha }}\\\\{\frac {\alpha }{\alpha -1}}(1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{\alpha }}\leq x_{n}\leq 1\end{cases}}$

Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из $[0;1]$ по аналогии с десятичной записью.

См. также

• Функция (математика)
• Отображение удвоения
• Логистическое отображение
• Динамическая система
• Порядок Шарковского
• Постоянная Фейгенбаума
• Аттрактор