Закон повторного логарифма

Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году.

Теорема

Пусть ${Y_{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть $S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.$ Тогда почти наверное:

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},$

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},$

где $\ln$ — натуральный логарифм, $\limsup$ — верхний предел, $\liminf$ — нижний предел.

Обобщения и дополнения

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен. Им же доказано, что если $Y_{n}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=\infty .$

Взаимосвязь с другими предельными теоремами

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы $S_{n}$ с делителем $n$ стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

${\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0$ почти наверное при $n\to \infty .$

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы $S_{n}$ с делителем ${\sqrt {n}}$ сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

${\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0$ и ни к чему не стремится почти наверное при $n\to \infty$.

Таким образом, хотя величина $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n}}$ будет меньше, чем любое заданное $\varepsilon >0$ с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка $[-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}]$ почти наверное.