Приближение Буссинеска

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссинеска, приближение Буссинеска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:

 
\rho_0 \left( \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v \right) = -\nabla p + \eta \Delta \vec v + \rho(T) \vec g,


\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,


\operatorname{div} \vec v = 0,

где \vec v — скорость течения, T — отклонение температуры, p — давление, \eta — динамическая вязкость, \chi — коэффициент температуропроводности, \vec g — ускорение свободного падения.

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

\rho (T) = \rho_0 (1 - \beta T),

где \beta — коэффициент объёмного расширения жидкости, \rho_0 — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре T_0, T — отклонение температуры от равновесия. Поскольку \beta и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое \rho_0 \vec g. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

 
\frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g,


\frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T,


\operatorname{div} \vec v = 0,

здесь \nu — кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).

Литература[править | править вики-текст]

  • Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Гостехиздат, Москва – Ленинград, 1952.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики, т. 6. Гидродинамика. § 56
  • Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, — М.: «Наука», 1972.
  • Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений, — М.: «Наука», 1989.