K(G,n) пространство

$K(G,n)$ пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой $G$ в размерности $n$.

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

Определение

Пусть $G$ — группа и $n$ — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство $X$ называется $K(G,n)$ пространством, если оно имеет $n$-ную гомотопическую группу $\pi _{n}(X)$ изоморфную $G$, а все остальные гомотопические группы $X$ тривиальны.

Если $n>1$, то необходимо предположить, что $G$ коммутативна.

Существование и единственность

При данных $G$ и $n$, пример $K(G,n)$ пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из $n$-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы $G$, и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности $n+1$.

Примеры

• Окружность $\mathbb {S} ^{1}$ является $K(\mathbb {Z} ,1)$ пространством.

• Бесконечномерное вещественное проективное пространство $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }$ является $K(\mathbb {Z} _{2},1)$ пространством.

• Сумма букет k окружностей $\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1}$ это $K(G,1)$ для $G$ — свободная группа с k образующими.

• Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере $\mathbb {S} ^{3}$ является $K(G,1)$ пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.

• Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является $K(\Gamma ,1)$, где $\Gamma =\pi _{1}(M)$ является фундаментальной группой М.
  • То же верно для локально CAT(0) пространств.

• Бесконечномерное комплексное проективное пространство $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ является $K(\mathbb {Z} ,2)$ пространством. Его кольцо когомологий $\mathbb {Z} [x]$ а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей $x$ в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

Свойства

• $K(G,n)$ пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.

• Произведение $K(G,n)$ и $K(H,n)$ пространств является $K(G\times H,n)$ пространством.

• Предположим, что $X$ — $K(G,n)$ пространство, и $K$ — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений $K\to X$ существует естественная биекция с группой когомологий $H^{n}(K,G)$. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.

• Пространство петель пространства $K(G,n)$ пространства является $K(G,n-1)$ пространством.

См. также

• Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
• Гомологическая сфера

Литература

• Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945), "Relations between homology and homotopy groups of spaces", Annals of Mathematics, (Second Series), 46 (3): 480—509, doi:10.2307/1969165

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1950), "Relations between homology and homotopy groups of spaces. II", Annals of Mathematics, (Second Series), 51 (3): 514—533, doi:10.2307/1969365

• Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87. — P. 31—52. — doi:10.4064/fm-87-1-31-52.

• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43, no. 1. — P. 169—172. — doi:10.1073/pnas.43.1.169. — PMID 16589993.

• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1—26. — doi:10.2307/1970113.