Раскраска области определения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Раскраска области определения как график функции с использованием структурной функции, описанной ниже.

Раскраска области определения — это техника визуализации комплексных функций, которая назначает цвет каждой точке комплексной плоскости.

Мотивация: четырёхмерная размерность[править | править код]

График вещественной функции можно нарисовать в плоскости с координатами x и y. В отличие от вещественных функций, граф комплексной функции (точнее, функции с комплексными значениями от одной комплексной переменной ) требует визуализацию в четырёхмерном пространстве. Один из способов достижения этого — римановы поверхности, другая возможность — раскраска области определения.

Метод[править | править код]

HL график z с помощью простой функции цвета, описанной в тексте
Граф комплексной функции z3 − 1, использующий ту же функцию цвета и показывающий три нуля, как и негативные вещественные числа в виде светло-голубых лучей, исходящих из нулей.

Для лучшего отображения комплексные значения представляются цветом. Такое сопоставление называется «функцией цвета». Используется много различных функций цвета. Обычная практика — представлять комплексный аргумент[en] (известный также как «фаза») цветом из цветового круга, а модуль (или амплитуду) яркостью или насыщенностью.

Простая функция цвета[править | править код]

Следующий пример функции цвета имеет чёрный цвет в нуле, красный в 1, голубой в −1 и белый на бесконечности:

Более точно, функция использует цветовую модель HSL (hue, saturation, lightness = цвет, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда имеет максимум в 100 %. Цвета радуги размещаются по кругу на единичной комплексной окружности, так что шесть корней из единицы (начиная с 1) получают цвета: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый. Модуль (амплитуда) кодируется интенсивностью посредством строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку модель HSL не является сенсорно однородной, можно видеть полоски сенсорной яркости жёлтого, голубого и фиолетового цвета (хотя абсолютные значения те же самые, что и у красного, зелёного и синего цвета) и эффект гало вокруг . Использование LAB корректирует эти эффекты, делая образы более аккуратными, но делает их также более тусклыми/пастельными.

Структурная функция цвета[править | править код]

Domain coloring.png

Модуль (амплитуда) вещественного числа может меняться от 0 до ∞, существенно более широко, чем аргумент (фаза). Поэтому функция цвета сжимает всё множество значений в небольшой разброс амплитуды. Это можно сделать с помощью разрывной функции цвета, имеющей повторяющийся набор значений.

Кроме того, эта функция цвета показывает белые лучи для аргументов 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 и серую решётку для равных вещественных и мнимых значений. Подобная функция цвета использована в графике в начале статьи.

История[править | править код]

Вероятно, первое применение метода было в публикации Ларри Крона и Ханса Ландмарка в конце 1980-х[1].

Термин «раскраска области определения» предложил Франк Харрис около 1998-го года[2][3]. Было много более ранних применений использования цвета для визуализации комплексных функций, которые, обычно, отражали аргумент[en] (фазу) цветом[4]. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из области определения в область значений или плоскость изображения использовали в 1999 Джорж Абдо и Пол Годфри [5], а цветные решётки использовал в графиках Дуглас Н. Арнольд в 1997[6].

Ограничения[править | править код]

Люди, страдающие дальтонизмом, могут испытывать проблемы интерпретации таких графов.

Фазовые диаграммы[править | править код]

Фазовые диаграммы являются специальной версией раскраска области определения. Всестороннее введение в фазовые диаграммы дано в книге Элиаса Вегерта[1].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Wegert, 2012.
  2. Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane
  3. Hans Lundmark. Visualizing complex analytic functions using domain coloring (2004). Дата обращения 25 мая 2006. Архивировано 2 мая 2006 года.. Ландмарк ссылается на принадлежность термина Фаррису в статье 2004 года.
  4. Rabenhorst, 1990, с. 42.
  5. George Abdo & Paul Godfrey. Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring (1999). Дата обращения 17 мая 2008.
  6. Douglas N. Arnold. Graphics for complex analysis (2008). Дата обращения 17 мая 2008.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]