Универсальное множество: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Arventur (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Venn1111.svg|thumb|<math>U~~~=~~~\varnothing^c</math>]] |
[[Файл:Venn1111.svg|thumb|<math>U~~~=~~~\varnothing^c</math>]] |
||
[[Файл:Venn1010.svg|thumb|<math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]] |
[[Файл:Venn1010.svg|thumb|<math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]] |
||
'''Универса́льное мно́жество''' — в [[математика|математике]] [[множество]], содержащее все |
'''Универса́льное мно́жество''' — в [[математика|математике]] [[множество]], содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. |
||
Универсальное множество обычно обозначается <math>U</math> (от {{lang-en|universe, universal set}}), реже <math>E</math>. |
Универсальное множество обычно обозначается <math>U</math> (от {{lang-en|universe, universal set}}), реже <math>E</math>. |
||
Строка 11: | Строка 11: | ||
В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория {{Iw|New Foundations|||New Foundations}} [[Куайн, Уиллард Ван Орман|У. В. О. Куайна]]. |
В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория {{Iw|New Foundations|||New Foundations}} [[Куайн, Уиллард Ван Орман|У. В. О. Куайна]]. |
||
Для [[арифметика|элементарной арифметики]] универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел{{sfn|Столл|с=25|1968}}. |
Также '''универсальным множеством''' называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для [[арифметика|элементарной арифметики]] универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел{{sfn|Столл|с=25|1968}}. |
||
На [[Диаграмма Венна|диаграммах Венна]] универсальное множество изображается множеством точек некоторого прямоугольника |
На [[Диаграмма Венна|диаграммах Венна]] универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества{{sfn|Столл|с=25|1968}}. |
||
В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. |
|||
== Свойства универсального множества == |
== Свойства универсального множества == |
Версия от 09:12, 21 января 2017
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe, universal set), реже .
В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.
В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.
В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations У. В. О. Куайна.
Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].
На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].
В дальнейшем речь идёт о первом значении термина.
Свойства универсального множества
- Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
- В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
- Любое множество является подмножеством универсального множества.
- В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
- Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
- В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
- Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
- В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
- Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
- В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
- Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
- Дополнение универсального множества есть пустое множество.
- Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
- В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
Виды
- Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что:
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Столл, 1968, с. 25.
- ↑ С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)
Литература
- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |