Список пределов

Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В перечисленных ниже примерах a и b являются константами относительно x.

Общие свойства пределов

Пусть $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ и $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$. Тогда:

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}$, если $L_{2}\neq 0$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}$, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$, если $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$, или $\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty$ (Правило Лопиталя)

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$ (определение производной)

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$

$\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

Пределы, связанные с известными константами

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ (константа Непера) — Второй замечательный предел

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$ (пи), а если заменить самый внутренний радикал ${\sqrt {2}}$ на ${\sqrt {3}}$, то предел получится равным ${2\pi \over 3}$

Доказательство

Используя значение первого замечательного предела имеем

$\lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin {\pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m}}=\pi$    (1)

Поскольку

$\cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x})}},x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)$

имеем

$\cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2}}$

$\cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$

$\cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$

Применяя метод математической индукции, получаем

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$

Отсюда

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1}}}}={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}} _{n}\right)^{2}}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}$

Подставляя это выражение в (1), получаем

$\lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\pi$

Что и требовалось доказать. Для самого внутреннего радикала ${\sqrt {3}}$ вместо ${\sqrt {2}}$ доказательство аналогично, только вместо $2^{n+1}$ надо брать $3\cdot 2^{n+1}$.

Простые функции

$\lim _{x\to c}P(x)=P(c)$, где $P(x)$ — многочлен.

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty$, если r нечётно, и $+\infty$, если r чётно.

Логарифмические и показательные функции

При $a>1:$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

$\lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty$

Тригонометрические функции

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ — Первый замечательный предел

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$, если n — целое число.

Пределы в окрестности бесконечности

$\lim _{x\to \infty }a/x=0$, при любом вещественном a.

$\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$ и не существует при $a=0$.

$\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0$ при любом $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}$ и не существует, если $a<0$.

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty$ при любом $a>0$

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$