Теоремы Гёделя о неполноте
Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя[~ 1] — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.
Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.
Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.
Обе эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.
Теорема Гёделя о неполноте
В первоначальной форме
В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(0), А(1), А(2), … и ∃x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A(n), следует невыводимость формулы ∃x ¬A(x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть, любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива)[6].
В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что[6]:
- Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна[~ 2] и A служит примером неразрешимой формулы.
Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой[7].
Интерпретация неразрешимой формулы
В стандартной интерпретации[~ 3] формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима[8].
В форме Россера
В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что[9]:
- Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна[~ 2], и B служит примером неразрешимой формулы.
Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой[10]. Эта формула немного сложнее гёделевой.
Интерпретация неразрешимой формулы
В стандартной интерпретации[~ 3] формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации[11].
Обобщённые формулировки
Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки[12]:
- Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.
В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.
Полиномиальная форма
После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме[13][14][15][16]:
- Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение
- не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.
Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.
Набросок доказательства
В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства[17], который приведён ниже с незначительными изменениями.
Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы[~ 4] S поставим в соответствие определённое натуральное число[~ 5]. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:
Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом:
- n∈K ≡ ¬Bew[R(n);n] (*)
(где Bew x означает: x — выводимая формула[~ 6]). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [C;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R(q) в нашей нумерации, то есть
C = R(q)
выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в S. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[R(q);q], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [R(q);q], то будет иметь место ¬q∈K, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.
Связь с парадоксами
В стандартной интерпретации[~ 3] гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс[18].
Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение»[18].
Вторая теорема Гёделя
В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации[~ 3] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:
- Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.
Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.
Набросок доказательства
Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con ⊃ G, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con ⊃ G. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.
Исторические сведения
23 октября 1930 года результаты Гёделя были представлены Венской академии наук Хансом Ханом. Основная статья была получена для публикации 17 ноября 1930 года и опубликована в начале 1931 года[19].
Примечания
- ↑ Иногда упоминается как вторая теорема Гёделя «о доказательствах непротиворечивости»[1], «о неполноте»[2][3][4], «о неполноте арифметики»[5].
- ↑ 1 2 Формальная система, содержащая неразрешимую, то есть невыводимую и неопровержимую, формулу, называется неполной.
- ↑ 1 2 3 4 Интерпретация формул теории S называется стандартной, если её областью является множество неотрицательных целых чисел, символ 0 интерпретируется числом 0, функциональные буквы ', +, • интерпретируются прибавлением единицы, сложением и умножением соответственно, предикатная буква = интерпретируется отношением тождества.
- ↑ Гёдель использовал систему Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела с оговоркой, что рассуждения применимы к широкому классу формальных систем
- ↑ Подобное сопоставление формул и натуральных чисел называется арифметизацией математики и было осуществлено Гёделем впервые. Эта идея впоследствии стала ключом к решению многих важных задач математической логики. См. Гёделева нумерация
- ↑ «Bew» сокр. от нем. «Beweisbar» — доказуемый, выводимый
Источники
- ↑ Клини 1957 с.513
- ↑ чл.-корр. РАН Лев Дмитриевич Беклемишев в «Введении в математическую логику»
- ↑ Толковый словарь по вычислительным системам - Page 205
- ↑ Доклады Академии наук СССР, Volume 262 - Page 799 (1982)
- ↑ Известия Академии наук СССР, Volume 50 - Page 1140 (1986)
- ↑ 1 2 Клини 1957 с.187
- ↑ Мендельсон 1971 с.165
- ↑ Это рассуждение заимствовано из Мендельсон 1971 с.160
- ↑ См., например, Клини 1957 с.188
- ↑ Мендельсон 1971 с.162
- ↑ Мендельсон 1971 с.162-163
- ↑ Мендельсон 1971 с.176
- ↑ Jones J. P., Undecidable diophantine equations
- ↑ Martin Davis, Diophantine Equations & Computation
- ↑ Martin Davis, The Incompleteness Theorem
- ↑ К. Подниекс, Теорема Геделя в диофантовой форме
- ↑ Gödel, Kurt. On Formally Undecidable Propositions of the Principia Mathematica and Related Systems. I. — 1931. в книге Davis, Martin (ed.). The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions. — New York: Raven Press, 1965. — С. 6-8.
- ↑ 1 2 Гёдель 1931
- ↑ Heijenoort 1967 p.592
Литература
- Клини Стефен Коул. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957. — 526 с.
- Клини Стефен Коул. Математическая логика. — М.: «Мир», 1973. — 480 с.
- Мендельсон Эллиот. Введение в математическую логику. — М.: «Наука», 1971. — 320 с.
- Davis, Martin (ed.). The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions. — New York: Raven Press, 1965. — 440 p.
- Heijenoort, Jean van (ed.). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. — Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967. — 660 p.
- В. А. Успенский. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. — 110 с. — (Популярные лекции по математике).
- Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике», программа А. Гордона от 16 июня 2003 года
- А. Б. Сосинский. Теорема Геделя // летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.
- П. Дж. Коэн. Об основаниях теории множеств // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, № 5(179). — С. 169–176.
- М. Кордонский. Конец истины. — ISBN 5-946448-001-04.
- В. А. Успенский. Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
- Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.
- Бирюков Б.В., Тростников В. Н. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 232 с. — ISBN 5-354-00310-5.
Библиография — статьи Гёделя
- 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173—198.
- 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. and On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I in Solomon Feferman, ed., 1986. Kurt Gödel Collected works, Vol. I. Oxford University Press: 144—195.
Оригинальный немецкий текст с параллельным английским переводом, с элементарным введением, написанным Стивеном Клини.
- Hirzel, Martin, 2000, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I.. Современный перевод Марина Херцеля.
- 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications in Solomon Feferman, ed., 1995. Kurt Gödel Collected works, Vol. III. Oxford University Press: 304—323.