Бесконечное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бесконечное множествомножество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

  • Множество, в котором для любого натурального числа найдётся конечное подмножество из элементов.
  • Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
  • Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
  • Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами (англ.) и обозначаются где индекс пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют

Примеры[править | править вики-текст]

  • Множества натуральных чисел целых чисел рациональных чисел действительных чисел комплексных чисел — являются бесконечными множествами.
  • Множество функций является бесконечным.
  • Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке
  • Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также[править | править вики-текст]