Уровни Ландау

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Уровни Ландау

Уровни Ландау — энергетические уровни заряженной частицы в магнитном поле. Впервые получены как решение уравнения Шрёдингера для заряженной частицы в магнитном поле Л. Д. Ландау в 1930 году. Решением этой задачи являются волновые функции электрона в гармоническом потенциале. Уровни Ландау играют существенную роль во всех кинетических явлениях в присутствии магнитного поля.

Вводные замечания[править | править вики-текст]

Классический случай[править | править вики-текст]

В классической механике движение частиц подчиняется второму закону Ньютона: ускорение равно силе, поделённой на массу, и направлено вдоль вектора силы. Сила, действующая на частицу в магнитном поле (сила Лоренца), пропорциональна произведению скорости движения частицы, напряжённости магнитного поля, заряду частицы, и синусу угла между направлением движения частицы и направлением магнитного поля. Направление силы перпендикулярно направлению магнитного поля и направлению движения частицы, и определяется правилом левой руки. Это правило можно проиллюстрировать простыми примерами:

  • если частица движется вдоль магнитного поля, сила, действующая на неё, равна нулю
  • если частица не заряжена, сила, действующая на неё, равна нулю
  • если магнитного поля нет, сила, действующая на частицу, равна нулю
  • если магнитное поле удвоить, сила, действующая на частицы, удвоится
  • если скорость частицы увеличится в 10 раз (а направление движения останется тем же), сила, действующая на неё, тоже увеличится в 10 раз
  • если частица движется поперёк магнитного поля, а другая, с тем же зарядом и с той же скоростью — под углом 30° к магнитному полю, сила, действующая на вторую частицу, в 2 раза меньше (потому что sin 30° = 1/2) .

Заряженная частица в постоянном магнитном поле будет или вращаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, или двигаться по винтовой линии, причём ось спирали параллельна оси магнитного поля. Частица может иметь какую угодно энергию, и радиус окружности или спирали может быть каким угодно. Это было известно ещё в XIX веке.

Квантовый случай[править | править вики-текст]

В квантовой механике у частиц нет определённой координаты и можно говорить только о вероятности найти частицу в некоторой области пространства. Состояние частицы описывается волновой функцией, а динамика частицы (или системы частиц) описывается не вторым законом Ньютона, а гораздо более сложным уравнением Шредингера. (Уравнение Шредингера справедливо только в нерелятивистском случае, то есть когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света, в противном случае действует ещё более сложное уравнение Дирака).

Характерной особенностью уравнения Шредингера является то, что его собственные значения могут быть дискретны. Например, планеты могут обращаться вокруг Солнца на орбитах с любым радиусом и могут иметь непрерывный набор значений энергии, а электрон в атоме водорода в квазиклассическом приближении «обращается» вокруг протона на орбитах с определёнными радиусами и может обладать только некоторыми разрешенными энергиями, представленными в энергетическом спектре.

С открытием законов квантовой механики возник вопрос: что происходит с движением частиц в магнитном поле в квантовомеханическом случае? Для решения этого вопроса необходимо решить уравнение Шредингера. Впервые это сделал 1930 году советский физик Ландау. Оказалось, что вдоль магнитного поля частица может двигаться с любой скоростью; но при заданной проекции скорости поперек магнитного поля частица может занимать дискретные энергетические уровни. Эти уровни были названы уровнями Ландау.

Ниже приводится уравнение Шредингера и его решения, причём:

  • Уравнение (1) описывает энергетические уровни частицы
  • Уравнение (3) является уравнением Шредингера в магнитном поле.
  • Уравнение (7) описывает волновые функции
  • Уравнение (10) описывает энергетические уровни частицы, когда есть не только магнитное поле, но и электрическое
  • Уравнение (11) описывает энергетические уровни частицы в двумерном пространстве.

Трёхмерный случай[править | править вики-текст]

Энергетический спектр для электрона (значение энергии в зависимости от его состояния) в магнитном поле в трёхмерном случае представляется в простом виде

где  — приведенная постоянная Планка,  — циклотронная частота (СГС),  — внешнее магнитное поле,  — скорость света в вакууме,  — элементарный электрический заряд,  — масса электрона,  — волновой вектор в направлении , которое принято за направление магнитного поля. Здесь энергетический спектр легко интерпретировать. Движение вдоль магнитного поля, где магнитное поле не влияет на заряженную частицу, представлено плоскими волнами, как для свободной частицы с волновым вектором . Движение в направлении, перпендикулярном магнитному полю, ограничено, и энергетический спектр полностью квантован. Хотя движение частицы происходит в трёхмерном пространстве, энергетический спектр зависит только от двух квантовых чисел: непрерывного и дискретного . Это означает, что спектр частицы является вырожденным. В трёхмерном случае наблюдается двукратное вырождение энергии по проекции волнового вектора на направление магнитного поля . В дополнение к этому имеется вырождение уровня Ландау, равное

где  — постоянная Планка. Кратность вырождения каждого из уровней Ландау равна отношению площади сечения образца плоскостью, перпендикулярной магнитному полю, к площади круга с радиусом равным магнитной длине , что является характерным размером области высокой вероятности нахождения частицы.

Кроме того, для свободных электронов в трёхмерном пространстве наблюдается приблизительное двукратное вырождение уровней энергии по спину. Это вырождение, однако, нетривиально, поскольку для него требуется, чтобы уровень Ландау для электрона со спином вниз в точности совпадал с уровнем Ландау для электрона со спином вверх плюс магнитный момент электрона на магнитное поле. Другими словами, требуется, чтобы g-фактор для электрона был в точности равен двойке (это, как показывает квантовая электродинамика, не совсем так). Это требование тем более не выполняется для электронов — квазичастиц в твёрдых телах (эффективная масса электрона и его магнитный момент мало связаны). Тем не менее, задача об электроне со спином и g-фактором равным 2 представляет некоторый теоретический интерес, поскольку её можно представить как задачу, обладающую суперсимметрией (см. Генденштейн Л. Э., Криве И. В. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. 1985. Т. 146, Вып. 4).

О решении уравнения Шрёдингера для электрона в магнитном поле[править | править вики-текст]

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в магнитном поле представлено в виде

где и  — оператор импульса электрона и векторный потенциал магнитного поля соответственно,  — волновая функция электрона,  — энергия и индекс обозначает n-ый уровень Ландау. В калибровке Ландау уравнение запишется в виде

Чтобы разделить переменные в этом уравнении, решение удобно искать в виде произведения трёх функций

где и  — размеры системы, и  — волновые векторы, индекс у волновой функции означает, что она зависит от него как от параметра. Подставляя в получим одномерное уравнение для

Это уравнение — не что иное, как уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора со сдвигом минимума потенциала. Таким образом, решения запишутся в виде

где  — многочлен Эрмита порядка .

О влиянии электрического поля[править | править вики-текст]

Теперь рассмотрим влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в магнитном поле. Перепишем уравнение с учётом электрического поля , направленного по

которое после выделения полного квадрата представляется в виде

где и . Мы видим из гамильтониана, что электрическое поле просто сдвигает центр волновой функции. Энергетический спектр задаётся следующим выражением:

Двумерный случай[править | править вики-текст]

В двумерном случае движение по одной из осей (например, оси z) квантовано. В этом случае спектр электронов состоит из эквидистантных уровней (с расстоянием между уровнями , где определяется из компоненты магнитного поля вдоль оси z). Энергия электрона есть

где  — энергия электрона, связанная с движением вдоль оси z. А так как ось z отсутствует в данном случае, то :