Условный экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усло́вный экстре́мум — максимальное или минимальное значение, которое функция, определённая на множестве и принимающая вещественные значения, достигает в предположении, что значения некоторых других функций с той же областью определения подчинены определённым ограничительным условиям (если такие дополнительные условия отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме)[1].

В частности, множество может быть подмножеством арифметического векторного пространства а упомянутые ограничительные условия, в свою очередь, могут быть заданы в виде равенств или неравенств; если при этом среди условий имеются заданные в виде неравенств, то задача нахождения условного экстремума является задачей нелинейного программирования. Ниже рассматриваются классическая задача на условный экстремум, в которой все условия заданы в виде равенств, а также задача Лагранжа — одна из классических задач вариационного исчисления[1].

Постановка классической задачи на условный экстремум[править | править вики-текст]

Пусть  — открытое множество, и на нём заданы функции    Пусть

Уравнения

называют уравнениями связей (терминология заимствована из механики).

Пусть на определена также функция   Точка называется точкой условного экстремума данной функции относительно уравнений связей если она является точкой обычного (безусловного) экстремума функции на множестве   (модификация определения экстремума сводится к тому, что в нём вместо окрестностей рассматриваются окрестности )[2].

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума[править | править вики-текст]

Теорема[править | править вики-текст]

Предположим, что все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции непрерывно дифференцируемы, и пусть  — точка условного экстремума функции при выполнении уравнений связей   Тогда в этой точке градиенты   являются линейно зависимыми, т. e.    но   [3].

Числа называются множителями Лагранжа и определены с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу. Наибольший интерес представляет случай, когда   (тогда, умножив все на подходящую ненулевую константу, можно сделать множитель равным и, таким образом, вообще исключить его из рассмотрения). В такой ситуации вместо только что сформулированной теоремы пользуются следующим следствием из неё[4].

Следствие[править | править вики-текст]

Если  — точка условного экстремума функции относительно уравнений связей и в ней градиенты   линейно независимы, то  такие, что в данной точке    В координатном виде это векторное равенство эквивалентно выполнению равенств

где  [3].

Равенствам можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что для чисел данные равенства выполняются, и объединим их в столбец   Составим функцию Лагранжа:

где  — уже произвольные числа. Тогда при точка является стационарной точкой функции Лагранжа, а равенства могут быть записаны в виде

эти соотношения и являются условиями стационарности точки   Добавляя к ним уравнения связей  получаем уравнений относительно неизвестных [5][6].

Пример.  Найдём стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность   Здесь         Составив функцию Лагранжа

и записав условия её стационарности в точке условного экстремума

находим:    и    (прямоугольник максимальной площади оказался квадратом)[6].

Достаточное условие условного экстремума[править | править вики-текст]

Если равенства при выполнены и при этом (дополнительно предполагается, что в точке все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции двукратно непрерывно дифференцируемы)  представляет собой отрицательно (положительно) определённую квадратичную форму переменных   то является точкой строгого условного максимума функции (строгого условного минимума для положительно определенной формы). Если же рассматриваемая квадратичная форма не является знакоопределённой, тогда условного экстремума нет[7].

Задача Лагранжа[править | править вики-текст]

Данная задача относится к вариационному исчислению и является одним из возможных обобщений классической задачи на условный экстремум. В задаче Лагранжа требуется найти непрерывно дифференцируемую функцию   заданную на отрезке   и доставляющую экстремум (максимум или минимум) функционалу

(точкой обозначена операция дифференцирования по )  при фиксированных граничных условиях      и выполнении уравнений связей

где  [8][9].

В данной задаче также применим метод множителей Лагранжа. Предполагая уравнения связей независимыми, вводят в рассмотрение неизвестных функций   и сводят исходную задачу к задаче безусловной оптимизации, заменяя подынтегральную функцию функцией

в качестве аналога равенств (т. e. в роли необходимых условий экстремума) теперь выступают уравнения Эйлера — Лагранжа, имеющие в рассматриваемом случае вид

где   Из этих обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненных уравнениями связей, находят (с учётом имеющихся граничных условий)  неизвестных функций  [10].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]