Форма объёма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Форма объема»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Форма объёмадифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть -форма на -мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства[править | править код]

  • Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
  • На многообразии с формой объёма , дивергенцию векторного поля можно определить с помощью следующих тождеств:
где обозначает производную Ли по , внешний дифференциал, а — операцию подстановки в .

Примеры[править | править код]

  • На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие фромы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.
где — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.

Литература[править | править код]