Функционал Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Определение[править | править вики-текст]

Для любого векторного пространства (вещественного или комплексного) и его подмножества функционал Минковского определяется как:

.

Предполагается, что и множество непусто. При дополнительных условиях на функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

  • из выпуклости и симметричности следует субаддитивность , то есть ;
  • однородность — для всех достигается, если  — сбалансированное множество, то есть для всех .

Свойства[править | править вики-текст]

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств , содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в и , так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть  — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества сопряжённое множество вводится как множество, опорная функция которого на векторах совпадает с :

.

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного выполнено:

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство содержит элементы, не лежащие в . Можно доопределить опорную функцию на , положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении образ совпадает с (при выпуклости и сбалансированности).

См. также[править | править вики-текст]

Другие проявления двойственности Минковского:

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.