Функция вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина примет определённое значение. Например, пусть — функция вероятности, тогда вероятность того, что примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения в функцию , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 - это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Стоит обратить внимание, что функция вероятности отличается от плотности вероятности в том, что последняя используется для вычисления вероятностей в случае непрерывной случайной величины. В этом случае идёт речь о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность вычисляется как интеграл от плотности вероятности по этому интервалу.

Определения[править | править код]

Функция произвольной вероятности[править | править код]

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество такое, что .

Функция , определённая следующим образом:

где — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности . Здесь важно понимать, что - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как , будучи определённой через , уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величины[править | править код]

Пусть () — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру на (на ), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности дискретной случайной величины имеет вид:

,

или

где — множество значений, которые принимает .

Свойства функции вероятности[править | править код]

Из свойств вероятности очевидно следует:

  • .
  • .
  • Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
.
  • Если , то
,
,

где  — функция вероятности вектора , а  — функция вероятности величины . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности .

,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений[править | править код]

См. также[править | править код]