Функция вероятности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функции вероятности для биномиального распределения

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина примет определённое значение. Например, пусть функция вероятности, тогда вероятность того что примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения в функцию , которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 - это означает, что будет принимать значения равные 13 в 50% всех исходов.

Функция вероятности - это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Стоит обратить внимание, что функция вероятности отличается от плотности вероятности в том, что последняя используется для вычисления вероятностей в случае непрерывной случайной величины; значения же самой функции плотности не вычисляются простой подстановкой значений в качестве аргумента (как было показано выше в дискретном случае), а должны наоборот быть проинтегрированы над интервалом значений, которые может принимать .

Определения[править | править код]

Функция произвольной вероятности[править | править код]

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на .

Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество такое, что .

Определение 2. Функция , определённая следующим образом:

называется функцией вероятности . Здесь важно понимать, что - это функция определённая на множествах, а не на числах, в то время как , будучи определённой через , уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности случайной величины[править | править код]

Определение 3. Пусть  — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует(наводит) вероятностную меру на , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности случайной величины имеет вид:

.

или короче

,

где .

Свойства функции вероятности[править | править код]

Из свойств вероятности очевидно следует:

  • .
  • .
  • Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
.
  • Если , то
,
,

где  — функция вероятности вектора , а  — функция вероятности величины . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности .

,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределений[править | править код]

См. также[править | править код]