Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Леви-Чиви́ты (или связность, ассоциированная с метрикой) — одна из основных структур на римановом многообразии. Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на римановом многообразии; эквивалентно заданию ковариантного дифференцирования, а также параллельного перенесения вдоль кривых. Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Определение

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\nabla$ на римановом многообразии $(M,\;g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей $X$, $Y$, $Z$ верно
        $X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)$,
   где $X(g(Y,\;Z))$ обозначает производную $g(Y,Z)$ в направлении $X$.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$ и $Y$
        $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$,
   где $[X,\;Y]$ — скобки Ли векторных полей $X$ и $Y$.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

Литература

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.