Теорема Гильберта 90

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма

Пусть $G$ — группа Галуа конечного циклического расширения $E/K,$ а $\sigma$ - её образующая. Тогда норма любого элемента $\beta \in E$ равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент $\alpha \in E$, что $\beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}}.$

Доказательство

Достаточность очевидна: если $\beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}},$ то, учитывая мультипликативность нормы, имеем $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}}.$ Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех $\sigma _{i}(\alpha ),$ а применение $\sigma$ к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}}={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )}}=1.$

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

$\mathrm {id} +\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}).$

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент $\gamma \in E,$ для которого

$0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}(\gamma ).$

Если применить отображение $\sigma$ к $\alpha ,$ а потом помножить полученное выражение на $\beta ,$ то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{n-2}(\beta )\sigma ^{n-1}(\beta )=N(\beta )=1.$

Тогда получаем, что $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ деля на $\sigma (\alpha )\neq 0$ имеем $\beta ={\frac {\alpha }{\sigma (\alpha )}}.$ Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть $G$ — группа Галуа конечного циклического расширения $E/K,$ а $\sigma$ - её образующая. Тогда след элемента $\beta \in E$ равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент $\alpha \in E,$ что $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент $\gamma \in E,$ для которого $\mathrm {tr} \gamma \neq 0$ и строим требуемое $\alpha$ в виде:

$\alpha ={\frac {1}{\mathrm {tr} \gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{n-2}(\beta ))\sigma ^{n-1}(\gamma )|.$

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967. — С. 243-244.

См. также

• Когомологии Галуа