Предгильбертово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предги́льбертово простра́нство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение[править | править вики-текст]

Пара называется предгильбертовым пространством, если  — линейное пространство, а  — определённое на скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма[править | править вики-текст]

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства[править | править вики-текст]

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве справедлив закон параллелограмма, то  — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение такое, что .

Пример[править | править вики-текст]

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом

если скалярное произведение определить как

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).

См. также[править | править вики-текст]