Предгильбертово пространство

Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.

Определение

Пара $\left(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ называется предгильбертовым пространством, если $X$ — линейное пространство, а $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — определённое на $X$ скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)

Норма

Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},\quad x\in X$.

В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых $x$ (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.

Свойства

Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве $(H,\;\|\cdot \|)$ справедлив закон параллелограмма, то $(H,\;\|\cdot \|)$ — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение $(\cdot ,\cdot )$ такое, что $\|x\|=(x,x)^{1/2}$.

Пример

В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом

$L^{2}([a,b])=\left\{f\colon [a,b]\to \mathbb {R} \,\left|\,\int \limits _{a}^{b}\!f^{2}(x)\,dx<\infty \right.\right\},$

если скалярное произведение определить как

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx,\quad f,g\in L^{2}{\big (}[a,b]{\big )}.$

Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L²).

См. также

• Евклидово пространство