Логарифмический потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ2 как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл

[править | править код]

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

Потенциал площади

[править | править код]

Если , то сам потенциал гармоничен в и

  • Здесь, как это часто делается, подразумевается представление как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в , а если также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя

[править | править код]

Если , то сам потенциал гармоничен в и

Если Sкривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

Логарифмический потенциал двойного слоя

[править | править код]

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если , то сам потенциал гармоничен в и

Если Sкривая Ляпунова, то:

и

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

Литература

[править | править код]
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
  • [bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]