Краевая задача
Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
[править | править код]Линейные уравнения n-го порядка
[править | править код]Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид
где
функции и непрерывны на отрезке , , краевые условия заданы линейными формами
— заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов имеет ранг , при этом краевые условия линейно независимы. Если и , краевая задача называется однородной, если только — полуоднородной.[1]
Задача на собственные значения
[править | править код]Собственными значениями называются те значения параметра , при которых однородная краевая задача
имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.
Если — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что
то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)
- . Если , то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.[2]
Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:
- Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
- Задача о разложении по собственным функциям. Если — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция может быть разложена в сходящийся ряд
Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:
Функция Грина
[править | править код]
Теорема 1. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции , непрерывной на отрезке , существует решение полуоднородной краевой задачи , задаваемое формулой где — функция Грина однородной краевой задачи.[5] |
С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из раз непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , удовлетворяющих краевым условиям , и действующий по правилу . При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром .
Функция Грина однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:
- непрерывна и имеет непрерывные производные по до -го порядка включительно для всех значений и из интервала .
- При любом фиксированном из отрезка функция имеет непрерывные производные -го и -го порядка по в каждом из интервалов и , причем производная -го порядка имеет при скачок .
- В каждом из интервалов и функция , рассматриваемая как функция от , удовлетворяет уравнению и краевым условиям .
Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.[6] |
С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу
Решение имеет вид
где — решения краевых задач
Краевая задача с параметром
эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
где
Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра .[8]
Системы линейных дифференциальных уравнений
[править | править код]Краевая задача состоит в отыскании системы функций , удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений
где — функции, непрерывные на отрезке ,
матрица
имеет ранг , — заданные числа.[9]
Численные методы решения
[править | править код]Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.
- Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.[10]
- Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
- Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.[11][12]
- Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).[13][14][15]
- Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. [16]
- Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.[17]
- Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи
удовлетворяет дифференциальному уравнению
- ,
где функции находятся как решения задачи Коши
Затем находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию .[18][19]
Применение
[править | править код]Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.[20]
Уравнения в частных производных
[править | править код]Обозначения
[править | править код]Пусть — ограниченная область в с кусочно-гладкой границей , — вектор нормали к границе , направленный вовне области , — производная по направлению нормали, . Функции удовлетворяют условиям:
Здесь — замыкание области , — множество функций, непрерывных в , — множество функций, раз непрерывно дифференцируемых в .
Уравнения гиперболического типа
[править | править код]Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению
начальным условиям
и граничному условию
Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости
и условие согласованности
- .
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[21]
Уравнения параболического типа
[править | править код]Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению
начальному условию
и граничному условию
Для существования решения необходимы следующие условия гладкости
и условие согласованности
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[22]
Уравнения эллиптического типа
[править | править код]Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа
- .
Пусть область такова, что .
- Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на границе заданные (непрерывные) значения .
- Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на заданные (непрерывные) значения и обращающуюся в нуль на бесконечности.
- Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную .
- Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и обращающуюся в нуль на бесконечности.
Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:
- .
Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.[23]
Методы решения
[править | править код]- Метод разделения переменных[24][25]
- Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)[26]
- Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)[27]
- Разностные методы.[28]
- Вариационные методы.[29]
- Метод конечных элементов.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 187.
- ↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 193.
- ↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, Часть вторая, глава I, §2.
- ↑ Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, Часть первая, главы I, II.
- ↑ Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 40.
- ↑ Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 38-39.
- ↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 190.
- ↑ Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 44.
- ↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 249.
- ↑ Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 262.
- ↑ Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 268.
- ↑ Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 372.
- ↑ Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 276.
- ↑ Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 391.
- ↑ Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 222.
- ↑ На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 12.
- ↑ На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 2.
- ↑ Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 9, §9.
- ↑ На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 3.
- ↑ Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 88.
- ↑ Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.2.
- ↑ Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.3.
- ↑ Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.6.
- ↑ Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999.
- ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 70.
- ↑ Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.7.
- ↑ Самарский А. А. Численные методы, 1989, часть III.
- ↑ Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 10, §9.
Литература
[править | править код]Обыкновенные дифференциальные уравнения
[править | править код]- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.
Уравнения в частных производных
[править | править код]- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
Численные методы
[править | править код]- На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
- Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
- Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
- Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.