Краевая задача

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример краевой задачи:

 \frac{dx}{dt} = A(t)x(t) + a(t), 0 \leqslant \ t \leqslant \ T

(система неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, заданная на участке [0; T])

Граничные условия (общий вид для всех краевых задач): Cx(0)+Dx(T)=B

Где A, C, D — матрицы, x — вектор неизвестных, a — n-вектор (делающий систему неоднородной), B — n-вектор

Общий вид решения: 
x(t) = x_0(t) + \sum_{i=1}^n a_i x_i(t)

Удовлетворение граничных условий достигается за счёт подбора коэффициентов  a_i. Эти коэффициенты находятся путём решения системы линейных уравнений.

Численные методы решения краевой задачи[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Аналитическое решение линейного ОДУ (задача Коши): http://twt.mpei.ac.ru/MAS/Worksheets/Lin_ODE.mcd

Литература[править | править исходный текст]