Краевая задача

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Краевая задача — задача об отыскании решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Линейные уравнения n-го порядка[править | править вики-текст]

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

где

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

функции f(x) и f_{\nu}(x) непрерывны на отрезке a \le x \le b, f_n(x) \ne 0, краевые условия заданы линейными формами

 U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2,  \dots, m,

\gamma_{\mu} — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов \alpha_{\mu}, \beta_{\mu} имеет ранг m, при этом краевые условия линейно независимы. Если \gamma_{\mu} = 0 и f(x) \equiv 0, краевая задача называется однородной, если только \gamma_{\mu} = 0полуоднородной.[1]

Задача на собственные значения[править | править вики-текст]

Собственными значениями называются те значения параметра \lambda, при которых однородная краевая задача

 L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если  \varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda) фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

 \varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1.\end{array} \right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

 \Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})] . Если \Delta(\lambda) \not \equiv 0, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.[2]

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

  • Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у нее существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
  • Задача о разложении по собственным функциям. Если u_{\nu}(x) — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция F(x) может быть разложена в сходящийся ряд]
F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)

по функциям u_{\nu}(x)?[3][4]

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0
\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ 
\alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ 
\end{array}

Функция Грина[править | править вики-текст]

Теорема 1. Если однородная краевая задача  L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует решение полуоднородной краевой задачи  L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n, задаваемое формулой

 y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

где G(x, \xi)функция Грина однородной краевой задачи.[5]


С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций y, удовлетворяющих краевым условиям U_{\mu}(y) = 0, и действующий по правилу L(y). При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром G(x, \xi).

Функция Грина G(x, \xi) однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. G(x, \xi) непрерывна и имеет непрерывные производные по x до (n-2)-го порядка включительно для всех значений x и \xi из интервала [a, b].
  2. При любом фиксированном \xi из отрезка [a, b] функция G(x, \xi) имеет непрерывные производные (n-1)-го и n-го порядка по x в каждом из интервалов [a, \xi) и (\xi, b], причем производная (n-1)-го порядка имеет при x = \xi скачок \frac{1}{f_n(x)}.
  3. В каждом из интервалов [a, \xi) и (\xi, b] функция G(x, \xi), рассматриваемая как функция от x, удовлетворяет уравнению L(G) = 0 и краевым условиям U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n.

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у нее существует единственная функция Грина.[6]


С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

 L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.

Решение имеет вид

 y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

где \psi_k(x) — решения краевых задач

 L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.[7]

Краевая задача с параметром

 L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

 y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

где

 g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра G(x, \xi).[8]

Системы линейных дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

Краевая задача состоит в отыскании системы функций u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x), удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

 u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

и краевым условиям

 U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

где  f_{\mu}, f_{\mu, \nu} — функции, непрерывные на отрезке  a \le x \le b,

 U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

матрица

 (\alpha, \beta) = 
\left( \begin{array}{llllll} 
\alpha_{1,1} & \dots & \alpha_{1,n} & \beta_{1, 1} & \dots & \beta_{1, n} \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & dots \\
\alpha_{n,1} & \dots & \alpha_{n,n} & \beta_{n, 1} & \dots & \beta_{n, n} \\
\end{array}\right)

имеет ранг n, \gamma_{\mu} — заданные числа.[9]

Численные методы решения[править | править вики-текст]

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

 y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

удовлетворяет дифференциальному уравнению

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*),

где функции \alpha_0(x), \alpha_1(x) находятся как решения задачи Коши

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,
 \alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Затем y(x) находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b).[18][19]

Применение[править | править вики-текст]

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.[1] Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.[20]

Уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

Обозначения[править | править вики-текст]

Пусть G — ограниченная область в \mathbb{R}^n с кусочно-гладкой границей S, n — вектор нормали к границе S, направленный во вне области G, \frac{\partial u}{\partial n}производная по направлению нормали, Q_{\infty} = G \times (0, \infty). Функции p, q, \alpha, \beta, \rho удовлетворяют условиям:

 p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,
 \alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,
 \rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Здесь \bar G = G \cup S — замыкание области G, C(\bar G) — множество функций, непрерывных в \bar G, C^k(\bar G) — множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых в \bar G.

Уравнения гиперболического типа[править | править вики-текст]

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), удовлетворяющей уравнению

 \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

начальным условиям

 u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

и граничному условию

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

 F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

и условие согласованности

 \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от u_0, u_1, F.[21]

Уравнения параболического типа[править | править вики-текст]

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty}), удовлетворяющей уравнению

 \rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

начальному условию

 u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

и граничному условию

 \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

 F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

и условие согласованности

 \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от F, u_0, v.[22]

Уравнения эллиптического типа[править | править вики-текст]

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

\Delta u = 0.

Пусть область G \in \mathbb{R}^3 такова, что  G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

\Delta u = - f.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.[23]

Методы решения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 187
  2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 193
  3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, Часть вторая, глава I, §2
  4. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, Часть первая, главы I, II
  5. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 40
  6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 38-39
  7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 190
  8. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 44
  9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 249
  10. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 262
  11. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 268
  12. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 372
  13. Калиткин Н. Н. Численные методы, 1978, с. 276
  14. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, с. 391
  15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 1971, с. 222
  16. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 12
  17. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 2
  18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 9, §9
  19. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, 1982, глава 3
  20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы, 1969, с. 88
  21. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.2
  22. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §6.3
  23. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.6
  24. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004
  25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999
  26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1999, с. 70
  27. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, §5.7
  28. Самарский А. А. Численные методы, 1989, часть III
  29. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, 1959, глава 10, §9

Литература[править | править вики-текст]

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
  • Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

Уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

Численные методы[править | править вики-текст]

  • На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
  • Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
  • Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
  • Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.