Кольцо Крулля

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Определение

Пусть $A$ — область целостности, а $P$ — множество всех простых идеалов $A$ высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. $A$ является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

1. $A_{\mathfrak {p}}$ — кольцо дискретного нормирования для всех ${\mathfrak {p}}\in P$,
2. $A$ равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных $A$).
3. Любой ненулевой элемент $A$ содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Свойства

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным.

Пусть $A$ — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение ${\widehat {A}}$ — кольцо Крулля, то и $A$ — кольцо Крулля.

Примеры

• Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
• Если $A$ — кольцо Крулля, то кольцо многочленов $A[x]$ и кольцо формальных степенных рядов $A[[x]]$ являются кольцами Крулля.
• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ над факториальным кольцом $R$ — пример кольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
• Пусть $A$ — нётерова область с полем частных $K$, и $L$ — конечное расширение $K$. Тогда целое замыкание $A$ в $L$ — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты).

Группа классов дивизоров

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу $D(A)$ можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу $D(A)$, фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо $A$ факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров $D(A)$. Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара обратимых пучков на $Spec(A)$.

Пример: в кольце $k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором $y=z$), тогда как группа Пикара тривиальна.

Литература

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. — ISBN 0-521-25916-9.
• Samuel, Pierre. Lectures on unique factorization domains (англ.). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Дата обращения: 29 июля 2013.