Момент силы

Для термина «Момент» см. также другие значения.

Для термина «Сила» см. также другие значения.

Момент силы
${\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]$
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы ${\vec {r}}$ и вектора силы ${\vec {F}}$. Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом ${\vec {M}}$ или, реже, ${\vec {\tau }}$ (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось $M_{\parallel }$; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела ${\vec {L}}$ относительно того же начала O со временем $t$: имеет место соотношение ${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}$. В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила ${\vec {F}}$ приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины $F$ на расстояние $x$ от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

$M=Fx$.

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации $F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}$.

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения $Fx$ требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы ${\vec {F}}$, приложенной к телу, определяется как векторное произведение

${\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]$,

где ${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор ${\vec {M}}$ перпендикулярен векторам ${\vec {r}}$ и ${\vec {F}}$.

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела ${\vec {L}}$, то начало O всегда выбирается одинаковым для ${\vec {L}}$ и ${\vec {M}}$.

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

${\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]$,

где ${\vec {r}}_{i}$ — радиус-вектор точки приложения $i$-й силы ${\vec {F}}_{i}$. В случае силы, распределённой с плотностью $d{\vec {F}}/dV$,

${\vec {M}}=\int \limits _{V}\left[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right]dV$.

Если $d{\vec {F}}/dV$ (Н/м³) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента ${\vec {M}}$ на ось, то есть

$M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}$,

где ${\vec {e}}_{o}$ — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

$M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|$,

где через ${\vec {r}}_{\perp }$ и ${\vec {F}}_{\perp }$ обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы ${\vec {M}}$, величина момента силы относительно оси $M_{\parallel }$ не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а $M_{\parallel }$ (как и ${\vec {M}}$) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность ${\vec {M}}$ (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры

Формула момента рычага

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

${\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}$

или, если записать момент силы относительно оси,

$M_{\parallel }=rF\sin \alpha$,

где $\alpha$ — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно $r\sin \alpha$. Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при $\alpha =\pi /2$. При сонаправленности ${\vec {F}}$ и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие

Чтобы покоившийся объект сохранил состояние механического равновесия после приложения к нему сил, наряду с равенством нулю суммы этих сил, должна быть нулевой сумма моментов сил (правило моментов):

$\sum _{i}{\vec {M}}_{i}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]=0$,

где ${\vec {r}}_{i}$ — радиус-вектор места приложения силы ${\vec {F}}_{i}$. Если $\sum {\vec {F}}_{i}=0$, то выбор начала отсчёта ${\vec {r}}_{i}$ не принципиален.

В двумерном случае, когда тело плоское и силы действуют в его плоскости (скажем, $xy$), правило моментов превращается в условие на компоненту момента в третьем измерении $\sum M_{iz}=0$.

Вариант правила для случая тела, «насаженного» на закреплённую ось: вращение отсутствует при нулевой сумме моментов $M_{\parallel i}$ относительно этой оси:

$\sum _{i}M_{\parallel i}=\left|\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i\perp }\times {\vec {F}}_{i\perp }\right]\right|=0$,

то есть если суммы моментов сил, стремящихся повернуть рассматриваемое тело по и против часовой стрелки, равны.

Движение твёрдого тела

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${\vec {L}}_{o}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r}}_{o}-{\vec {r}}_{c}),{\vec {v}}_{c}]$.

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если $I$ — постоянная величина во времени, то

${\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }},$

где ${\vec {\alpha }}$ — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}].$

Связь с другими величинами

С моментом импульса

Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Момент силы — производная момента импульса ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ относительно точки O по времени:

${\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

$M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}$.

Если момент силы ${\vec {M}}$ или $M_{\parallel }$ равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ (где ${\vec {v}}$ — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

$P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$.

В системе СИ мощность $P$ измеряется в ваттах, угловая скорость ${\vec {\omega }}$ — в радианах в секунду.

С механической работой

Если под действием момента силы ${\vec {M}}$ происходит поворот тела на угол $d\varphi$, то совершается механическая работа

$dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$.

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол $\varphi _{2}-\varphi _{1}$ получим

$A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M}}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}}\omega (t)dt$.

В системе СИ работа $A$ измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию $2\pi$ джоуля.

Измерение момента силы

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы ${\vec {F}}$ на рычаг ${\vec {r}}$, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок $dl$, которому соответствует бесконечно малый угол $d\varphi$. Обозначим через $d{\vec {l}}$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка $dl$ и равен ему по модулю. Угол между векторами ${\vec {F}}$ и $d{\vec {l}}$ равен $\beta$, а угол между векторами ${\vec {r}}$ и ${\vec {F}}$ равен $\alpha$.

Следовательно, бесконечно малая работа $dA$, совершаемая силой ${\vec {F}}$ на бесконечно малом участке $dl$, равна скалярному произведению вектора $d{\vec {l}}$ и вектора силы, то есть $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$.

Теперь попытаемся выразить модуль вектора $d{\vec {l}}$ через радиус-вектор ${\vec {r}}$, а проекцию вектора силы ${\vec {F}}$ на вектор $d{\vec {l}}$ — через угол $\alpha$.

Так как для бесконечно малого перемещения рычага $dl$ можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу ${\vec {r}}$, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: $dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi$, где в случае малого угла справедливо $\mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi$ и, следовательно, $\left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi$.

Для проекции вектора силы ${\vec {F}}$ на вектор $d{\vec {l}}$ видно, что угол $\beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$, а так как $\cos {\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha$, получаем, что $\left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: $dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$, или $dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi$.

Видно, что произведение $\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов ${\vec {r}}$ и ${\vec {F}}$, то есть $\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|$, которое и было принято обозначить за момент силы $M$, или модуль вектора момента силы $\left|{\vec {M}}\right|$.

Теперь полная работа записывается просто: $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi$, или $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$.

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона