Моноид (теория категорий)

В теории категорий моноид $(M,\mu ,\eta )$ в моноидальной категории $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

• $\mu :M\otimes M\to M$ (называемый умножением),
• и $\eta :I\to M$ (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

а также диаграмма

коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, $\alpha$, $\lambda$ и $\rho$ — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$.

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии $\gamma$. Тогда моноид $M$ называется симметричным, если

$\mu \circ \gamma =\mu$.

Примеры

• Моноида в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле.
• Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как $\mathbb {Z}$-модулей) — это кольцо.
• Из теоремы Экманна — Хилтона следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо.
• Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра.
• Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра.
• Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.

Категория моноидов

Пусть $(M,\mu ,\eta )$ и $(M',\mu ',\eta ')$ — два моноида в моноидальной категории C, морфизм $f:M\to M'$ является морфизмом моноидов, если

• $f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$,
• $f\circ \eta =\eta '$.

Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как $\mathbf {Mon} _{\mathbf {C} }$.

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7