Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
n-мерный мультииндекс — это вектор
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812eb76cff024092c266a999bb10b03513914d54)
составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов
и вектора
вводятся:
- Покомпонентное сложение и вычитание
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6b5d7d524ee5390e8ad81b8ee3d74d81261d70)
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cbb846993d49f8992be68de9b846d277e187ec)
- Абсолютное значение как сумма компонентов
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7832f93f42cce41671070ecf5a4135255fb4c93a)
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ec408016ade71f03fa953438c6e9560a32a05)
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863345563c919d2be7c4da27b476be83e9b796b)
![{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd8717184ad0646712c80da26c6abc93862e14)
где ![{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28aeb23d73561e2073c54f9fef980f15745b1c8)
Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:
Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:
![{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8642b3287117472544b3a03800951481b831c9)
Для гладких функций f и g
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1726ea9b22adadd9a8a943a5560e3ada23b15ae9)
Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876d4e484fff118421fa290f089b77c8e1bdda3e)
Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9527adc0a8f66e4a1dde784952c7185e1718e11c)
где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим
![{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c54a9fbc554936f0927b1cf90b89c86aa506b0)
Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:
![{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8337065ee25c08f25c133f4ddb728bd9e8dd8231)
Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области
имеем:
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6542070b9eaa44eaab4d070c9706900d637faf26)
Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.
Если
— это мультииндексы и
, то
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03bfecd43d58ed90056fcb96123644095c3db8f1)
Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e5c6a7714c8b0ef8a987d47fb5d7620faa480c)
Положим
,
и
. Тогда
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5a4a78a610adf197ab62f8f42c3a9924a92b2e)
Здесь каждое дифференцирование
сводится к соответствующей обыкновенной производной
, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция
зависит только от
. Поэтому из уравнения (1) следует, что
исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dc5027a5bbd718f053ca6514950f6e600c6087)
для каждого
.
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.