Панциферное число
В математике, панциферное число является целым числом (в какой-то выбранной системе счисления), в котором каждая цифра данной системы счисления появляется по крайней мере один раз. Например, 1223334444555556666667777777888888889999999990 - это панциферное число в десятичной системе счисления. Последовательность A050278 перечисляет несколько первых панциферных чисел в десятичной системе:
- 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689
Самое маленькое панциферное число в системе счисления с основанием b — это целое число, принимающее форму:
Данная таблица перечисляет наименьшие панциферные числа в некоторых выбранных системах счисления:
| Основание | Наименьшее панциферное число | Значения в десятичной системе |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 102 | 11 |
| 4[вд] | 1023 | 75 |
| 8 | 10234567 | 2177399 |
| 10 | 1023456789 | 1023456789 |
| 12 | 1023456789AB | 754777787027 |
| 16 | 1023456789ABCDEF | 1162849439785405935 |
| 36[вд] | 1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ | 2959962226643665039859858867133882191922999717199870715 |
| Римские цифры | MCDXLIV | 1444 |
A049363 перечисляет значения панциферных чисел в десятичной системе для первых 18 систем счисления.
Тривиальным образом, все положительные целые числа являются панциферными в унарной системе счисления. В бинарной системе счисления, все целые числа являются панциферными, кроме 0 и чисел, принимающих форму (Число Мерсенна). Чем больше система счисления, тем меньше в ней панциферных чисел, хотя всегда можно найти панциферных чисел, следующих друг за другом с излишними цифрами, если написать все цифры выбранной системы счисления вместе (но не ставя ноль или нули в начало) и добавить x + 1 нулей в конце.
Также, наоборот, чем меньше система счисления, тем меньше панциферных чисел без излишних цифр в ней существует. 2 это единственное такое панциферное число в бинарной системе счисления, в то время как таких чисел больше в десятичной системе счисления.
Иногда, термин «панциферное число» используется только для тех панциферных чисел, у которых нету излишних цифр. В некоторых случаях, число может называться панциферным даже если в нём нету нуля или нулей. К примеру, 923456781 (такие числа иногда называются «безнулевыми панциферными числами»).
Ни одно панциферное число в десятичной системе счисления не может быть простым числом, если у него нету излишних цифр. Сумма цифр от 0 до 9 равна 45, а данное число делится без остатка как на 3, так и на 5, так и на 9. Первое панциферное число в десятичной системе счисления это 10123457689; A050288 продолжает последовательность.
По разным причинам, излишние цифры также нужны, чтобы панциферное число (в любой системе счисления кроме унарной) было также палиндромом в этой системе счисления. Наименьшее панциферное палиндромное число в десятичной системе это 1023456789876543201.
Наибольшее панциферное число без излишних цифр, которое также является квадратным числом, это 9814072356.
Двое из безнулевых панциферных чисел Фридмана это: 123456789 = ((86 + 2 × 7)5 — 91) / 34, и 987654321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 34.
Панциферное число Фридмана без излишних цифр это квадратное число: 2170348569 = 465872 + (0 × 139).
В то время, как многое, что было выше сказано не применяется к римским цифрам, существуют панциферные числа: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Эти числа, перечисленные в A105416, используют каждую цифру только единожды, в то время как в A105417 перечислены римские цифры с повторениями.
Панциферные числа иногда полезны в рекламе. К примеру, некоторые банки используют рекламу с изображением банковских карт, на которых изображены панциферные числа с излишними числами, тем самым делая изображённую банковскую карту фиктивной.
Примеры панциферных чисел в десятичной системе счисления
[править | править код]- 123456789 = Первое безнулевое панциферное число.
- 381654729 = Единственное безнулевое панциферное число, в котором первые n цифр делятся на число n.
- 987654321 = Наибольшее безнулевое панциферное число без излишних цифр.
- 1023456789 = Первое панциферное число.
- 1234567890 = Первое панциферное число, в котором все цифры в порядке возрастания.
- 3816547290 = Единственное панциферное число без излишних цифр, в котором первые n цифр делятся на число n.
- 9876543210 = Наибольшее панциферное число без излишних цифр.
- 9814072356 = Наибольшее панциферное число без излишних цифр, которое также является квадратным числом. Это число квадрат числа 99066.
- 12345678987654321 = Панциферное число, в котором все цифры, кроме нуля находятся одновременно как и в порядке возрастания, так и в порядке убывания. Это число квадрат числа 111111111.