Полуитерат

Полуитерат (или функциональный квадратный корень) функции f(x) — такая функция g(x), что g(g(x)) = f(x) для любого x. Иными словами, функциональный квадратный корень это квадратный корень по отношению к операции композиции функций.

Обозначения

Обозначение полуитерата функции f как $f^{\frac {1}{2}}$ должно использоваться осторожно в контексте функционального уравнения $f^{2}(x)=g(x)$, так как оно имеет два решения (аналогично обычным квадратным корням), например для $g(x)=4x-6$, ответами являются $f(x)=6-2x$ и $f(x)=2x-2$.

Другие принятые обозначения представляют из себя $f_{1/2}$ или $f_{[1/2]}$.

Неподвижные точки

Для нахождения функциональных корней зачастую полезно знать неподвижные точки этой функции при ее композиции. Для функции $f$, точка $x$ является неподвижной если верно равенство $f(x)=x$. В таком случае очевидно, что $f^{n}(x)=x$ для любого $n$ (исключая случаи, когда итерирование функции подверженно феномену Рунге). Например для функции $f(x)=\sin(x)$ неподвижной точкой $a$ является $a=0$.

Аналитические решения

Основной метод нахождения полуитерата функции $f$ является формула$$f^{1/2}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\tbinom {1/2}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\tbinom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{k}(x)$$которая может быть получена разложением суперфункции на ряд интерполяционной формулы Ньютона. Данный ряд сходится если итерация функции $f$ не подверженна вышеупомянутому феномену Рунге (в таком случае могут применятся методы борьбы с феноменом), а также если суперфункция от данной функции не возрастает быстрее чем показательная функция.

Другим методом является ряд Тейлора функции полуитерата в окрестности неподвижной точки $a$:

$$f^{1/2}(x)=a+(x-a){\sqrt {f'(a)}}+{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2{\sqrt {f'(a)}}}}{\frac {{\sqrt {f'(a)}}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$$