Целая часть

График функции «пол» (целая часть числа)

График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа $x$ — округление $x$ до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление $x$ до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры

Впервые квадратные скобки ($[x]$) для обозначения целой части числа $x$ использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил округление числа $x$ до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» $x$ и обозначать $\lfloor x\rfloor$ и $\lceil x\rceil$ соответственно.

В современной математике используются оба обозначения, $[x]$ и $\lfloor x\rfloor$, однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

${\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matrix}}$

См. также: Округление

Определения

Функция «пол» $\lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor$ определяется как наибольшее целое, меньшее или равное $x$:

$\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.$

Функция «потолок» $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ — это наименьшее целое, большее или равное $x$:

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.$

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):

${\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matrix}}$

Свойства

В формулах, записанных ниже, буквами $x$ и $y$ обозначены вещественные числа, а буквами $n$ и $m$ — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

$\lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad$

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

• полунепрерывной сверху и
• непрерывной справа.

Функция потолок является:

• полунепрерывной снизу и
• непрерывной слева.

Связь функций пол и потолок

Для произвольного числа $x$ верно неравенство

$\lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil$

Для целого $x$ пол и потолок совпадают:

$\lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x$

Если $x$ — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

$\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor$

Пол/потолок: неравенства

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами :

${\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}$

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

$x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil$

Пол/потолок: сложение

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка :

$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil$

Пол/потолок под знаком функции

Имеет место следующее предложение:

Пусть $f(x)$ — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

$f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z}$

Тогда

$\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil$

всякий раз, когда определены $f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )$.

В частности,

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil$

если $m$ и $n$ — целые числа, и $n>0$.

Пол/потолок: суммы

Если $m,n$ — целые числа, $m>0$, то

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor$

Вообще, если $x$ — произвольное вещественное число, а $m$ — целое положительное, то

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor$

Имеет место более общее соотношение :

$\sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)$

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно $m$ и $n$, то справедлив следующий закон взаимности:

$\sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0$

Разложимость в ряд

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

$[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),$

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),$

который расходится.

Применение

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно

$\lfloor \log _{b}n\rfloor +1$

Округление

Основная статья: Округление

Ближайшее к $x$ целое число может быть определено по формуле

$(x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor$

Бинарная операция mod

Основная статья: Остаток от деления

Операция «остаток по модулю», обозначаемая $x{\bmod {y}}$, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если $x,y$ — произвольные вещественные числа, и $y\neq 0$, то неполное частное от деления $x$ на $y$ равно

$\lfloor x/y\rfloor$,

а остаток

$x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor$

Дробная часть

Основная статья: Дробная часть

Дробная часть вещественного числа $x$ по определению равна

$\{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor$

Количество целых точек промежутка

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами $\alpha$ и $\beta$, то есть количество целых чисел $n$, удовлетворяющий неравенству

$\alpha \leqslant n\leqslant \beta$

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

$\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor$.

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами $\lceil \alpha \rceil$ и $\lfloor \beta \rfloor$, равное $\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$.

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже .

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor$

$\#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1$

(Через $\#M$ обозначена мощность множества $M$).

Первые три результата справедливы при всех $\alpha \leqslant \beta$, а четвёртый — только при $\alpha <\beta$.

Теорема Рэлея о спектре

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — положительные иррациональные числа, связанные соотношением

${\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.$

Тогда в ряду чисел

$\lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots$

каждое натуральное $n\in \mathbb {N}$ встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

$\{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}$ и $\{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}$,

называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.

В информатике

В языках программирования

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки

В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка $\lfloor$, $\rfloor$, $\lceil$, $\rceil$ существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

См. также

• Дробная часть
• Округление
• Десятичный разделитель

Литература

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.